三角関数

髙木忠 (id: 3697) （2025年8月19日20:37）

以前も質問させていただいたのですが、よくわからなくなってしまったのでもう一度お願いします（B）で講師による解説が定数分離もどきだったのですが、私は①y＝0がf(0)のf(1)間にある場合②y＝0とy＝f (t)の頂点が接する場合の2パターンで考えて答えを出しました。すると①のパターンが間違っていました。 2<kという範囲を反映させて最小値を2にしたのですがどうして間違いなのですか？また、答えでは≦3と＝がついていますが＝を含むとf (0)≦0<f(1)となりθの解の個数が1個になってしまうのではないでしょうか？長くなってすみません。お手数をおかけしますがよろしくお願いします私の答案は3枚目です

回答

くさぼうぼう : (id: 1236) （2025年8月19日21:24）

忠さん、こんばんは。あなたの答案の(ｲ)ですが、接する場合だけではなく、ｙ＝０がf(0)とf(1)の間にあってもいいのではないですか？また、(ｱ)で３に等号が入るのは、ｔ＝０が解の場合もｘ＝０、πの２解が得られるので、条件としてはf(0)≦０なのです。いずれにしても、2枚目の写真の解法はまるでお勧めではないです。ま、やってもいいけど、大げさですね。忠さんの解法の方がいいです。この問題は単に「2次方程式 $-2t^2+2kt+k-3=0$ が $0\leqq t<1$ の範囲内に解を一つ持つためのｋの条件を求めよ」という純粋に2次関数の問題です！軸の位置は気にせずに場合分けは３つ。 ①$0\leqq t<1$ の範囲内で重解を持つ場合。② $f(0)\leqq0,f(1)>0$ の場合。③ $f(0)\geqq 0,f(1)<0$ の場合。 ③からは解が出ず、①と②で条件が得られますよ。これでどうでしょうか？なにか返事を書いてください。

髙木忠 (id: 3697) （2025年8月20日1:35）

あなたの答案の(ｲ)ですが、接する場合だけではなく、ｙ＝０がf(0)とf(1)の間にあってもいいのではないですか？ ▶︎y = f(t)とy = 0の交点が範囲内に2個あるということでしょうか…？交点2個だとすると0 < t < 1の範囲なので解xは4つになりませんか？また、(ｱ)で３に等号が入るのは、ｔ＝０が解の場合もｘ＝０、πの２解が得られるので、条件としてはf(0)≦０なのです。 ▶︎よくわかりました！！ありがとうございます！！軸の位置は気にせずに場合分けは３つ。 ▶︎二次関数の解の配置問題って・端点・判別式・軸の位置の三条件がいると思ったのですが、今回軸の条件がいらないのはどうしてですか？

くさぼうぼう : (id: 1236) （2025年8月20日8:20）

▶１：「y = f(t)とy = 0の交点が範囲内に2個あるということでしょうか…？」あ、いや、そうではないです。あくまでもf(0)とf(1)が異符号だと言っています。範囲内のグラフの端点がⅹ軸の両側になるということです。その表現で「交点は１つ」になりますよ。軸が０から１の範囲外ならばもちろん交点は1個だし、軸がその範囲内でも直線ｙ＝０は2回は交われないです。必要なら図も書きますが、あなたも図を書いて確かめてみてください。 ▶３：たいていの場合はその3つ、あるいはもっと必要になるような配置問題もありますが、必ずしもいつでも必要というわけではありません。一番単純な例では「2次方程式ｘ²+aｘ＋ｂ＝０が正と負の解を一つずつ持つための条件を求めよ」では「f(0)＜０」だけで十分だし、「2次方程式ｘ²+aｘ＋ｂ＝０が2つの実数解を持ち、１つだけが０と１の間に解を一つだけ持つような条件を求めよ」では「f(0)f(1)＜０」だけでいいです。しつこいですが(笑)「2次方程式ｘ²+aｘ＋ｂ＝０が１と２の間と３と４の間に一つずつ解を持つような条件を求めよ」も軸なしでいけますよ。これでどうでしょうか？

髙木忠 (id: 3697) （2025年8月20日19:17）

図も含めて自分で考えてみます！！ありがとうございます！！

くさぼうぼう : (id: 1236) （2025年8月20日19:38）

どういたしまして。行き詰まったら言ってください。

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