円外の点から円に引いた接線

別解について 私ははじめ別解の方で解いたのですが、X軸に垂直な直線を考慮できていませんでした。なぜ、別で考えなければいけないのでしょうか。（なぜ式の中でX軸に垂直な直線は考慮できないのでしょうか）

$x$ 軸に垂直な直線には傾きが定義されていないからです。 問題集の別解のように「傾き $m$ の～」のように直線の傾きを実数 $m$ とおいて立式できるのは、傾きが定義されている場合に限ります。数学の原則として、定義されていないものを議論に用いることはできません。 $x$ 軸に垂直な直線上の任意の $2$ 点 $(a_1, b_1), (a_2, b_2)$ を考えたとき、これらの点の $x$ 座標は必ず等しくなります。そのため、傾きを求める式 $\dfrac{b_2 - b_1}{a_2 - a_1}$ を適用すると、分母が $0$ となり計算できません。 したがって、傾きが定義されていない $x$ 軸に垂直な直線と、傾きが定義されているその他の直線に場合分けする必要があります。 この説明に関してご不明な点があれば、お気軽にコメントにてご質問ください。