漸化式についての質問というか簡単な確認です。

主に確立漸化式などで偶奇に分けて考える、漸化式を立てる時、数列をa(n),n=2kとn=2k-1(kは自然数)とすると、 偶数(n=2k)の場合においてa(2k+2)=p*a(2k)+qが成り立ちますが、これは a{2(k+1)}=a(2k+2)=p*a(2k)+qという様にkの、kとk+1の隣接2項間の漸化式であるという解釈で合っていますか？ パッと見、隣接3項間漸化式のように見えてしまったので気になりました。この隣接3項間はnに置いての話だと解釈していますが、そちらもこの解釈で合っているのか教えていただきたいです。 例題を挙げるなら阪大理系2025第5問です。

おにぎり あいうえ さん、あ、ほんとは　あいうえおにぎりさんなのかな？ こんにちは。初めての方ですね。よろしく。 はい、ｋに関しての隣接２項間漸化式です。 $a_{2k}$ を $b_k$ と置き換えたのと同じですね。 $b_k$ に関する隣接２項間漸化式が得られます。 ｎでみたときは隣接ではありません。ｎとｎ＋２のように一つ飛んでますので。 また隣接３項間の関係は出てきませんよ。 これで大丈夫ですか？ ここでは会話型を目指しています。これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄になにか返事を書いてください。返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメントよろしく。