数学的帰納法

写真の問題（2）についてです。 ３枚目の写真の部分からどのように進めれば良いのかわからなくなってしまったので教えていただきたいです。 【写真】 １枚目→問題 2.3枚目→自身のノート

ひなた さん、こんにちは。毎日暑い日が続きますね。 最後の式も目指すＧｏａｌもそれでいいのです。数学的帰納法の後半は「無理やりゴールにもっていく」です。 最後の行の式とゴールとを見比べて、一番わかりやすい違いは分子の階乗のところです。 （あれ？ｎなの？ｈなのｋなの？ｋでいきますよ。） （アルファベットがはっきりしない！採点者が読み間違う心配がありますよ)ズバズバ！ ゴールは $(2k+3)!$ なのに、最後の式は $(2k+1)!\times (2k+3)$ なので、分子に$(2k+2)$ を追加すれば分子の階乗の部分は同じになります。分子だけに追加するわけにはいかないから分母にも… というのがヒントです。この先はやってみてください。 （意地悪じゃないです！自分でやらないと感動しないし、力がつきませんので。） うまくいかないときはコメント欄で聞いてください。 これで大丈夫ですか？ ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 追記　2025/08/27　9:00～ コメント見ました。 では… 最後の行の式の分子は１から２ｋ＋１までの自然数の積に２ｋ＋３がかかっています。 ２ｋ＋１と２ｋ＋３は１つ飛んだ自然数で、間に２ｋ＋２があればつながって １から２ｋ＋３までの自然数の積 (2k+3)! つまり (2(k+1)+1)! となり、ゴールの分子が作れますね。 分子に２ｋ＋２を勝手にかけたので、分母にも２ｋ＋２をかけざるを得ません。 最後の1行の分母は $2^k k!\times (2k+2)$ になり、２ｋ＋２を2(k+1) としてやれば 分母は $2^k k!\times (2k+2)=2^k k! \cdot 2\cdot (k+1)=2^{k+1}(k+1)!$ となってめでたしめでたしになるのです！ これで大丈夫ですか？