複利計算

緑のところの式の立て方がわかりません💦 なんでこのような式が立てられるのですか？

百花さん、こんばんは。 複利は分かりますか？ 複利で借りたお金をちょっとずつ返すときに、返したお金にも複利で利息が付いていくらしいですね。 そのへんの仕組みはよくわからないのですが、そうやって返していった結果、返した金額に利息が付いたものの合計が、借りたお金に利息が付いたものと同じになったら返済完了ということらしいです。 仕組みとしては栃木銀行が１００万円をｎ年間貸して、複利がついてｎ年後の返すべき金額が決まり、借りた人は栃木銀行の口座に毎年１０万円預け、それにも複利で利息が付いて…ということみたいですね。 （なぜこんなことを書いたかというと、2年後に１０万円をかえしたら、借金は９０万円になっているような気がしたからです。でもこの解答や考え方では、１０万円を返しても、借りている金額は減らず、ずっと１００万円に対して利息が付いていってしまうようですね。）←混乱させるかもしれないので、問題自体に違和感を持たなければ無視してください。右のページの複利の解説が読みたいです。複利とかって、あんまり数学的ではないのでしくみがよくわからない点もあるのです。 さて、解説します！ 「考え方」の①②の方で分かれば、解くときはそれを使えばいいので、Ｓ円とか利率ｒで書きます。 ①の説明 借りたＳ円は１年後には利息が付いて $S+S\times r=S(1+r)$ 円借りていることになります。 ２年後には 利息を含めて借りている$S(1+r)$ 円に利率ｒで利息が付くので、借りているお金は $S(1+r)+S(1+r)\times r=S(1+r)(1+r)=S(1+r)^2$ 円となります。 ３年後には$S(1+r)^2$ 円に利率ｒで利息が付くので、借りているお金は $S(1+r)^2+S(1+r)^2\times r=S(1+r)^2(1+r)=S(1+r)^3$ 円となります。 ４年後には…$S(1+r)^4$ 円となります。 １年ごとに（１＋ｒ）倍になっていくのでｎ年後には最終的に全部で$S(1+r)^n$ 円となるのです。 Ｓ万円をｎ年間複利で借りると$S(1+r)^n$ 円借りたことになってしまうので、この金額を返さなければなりません。 これが①の式です。わかりますか？ ②の説明 一方、返す側ですが、今がｎ年目として、今年返した（栃木銀行の口座に入れた）ａ万円に加えて、昨年返した（栃木銀行の口座に入れた）a万円に利息が付いた $a(1+r)$ 円、一昨年返したａ万円が複利で2年分で $a(1+r)^2$ 万円、３年前に返したａ万円に複利で利息が付いた $a(1+r)^3$ 万円、……、n-1年前（借りた次の年）に返したa万円に複利で利息が付いた $a(1+r)^{n-1}$ 万円が口座にたまっているはずです。わかりますか？ これが②の式です。 ここまでの話を具体的に１００万円、０．０５、１０万円を用いたのが解答の方の①②です。 ここまでで大丈夫ですか？あとは理解可能？