写像の定理証明の推論の疑問

f(A)=pY(G∩(A×Y))の証明の途中に ∃x((x, b) ∈ G∩ (A×Y)) ⇒∃x((x, b) ∈ G∩ (A×Y) ∧ b = pY(x, b)) で付け足されたのがあるんですけどこれどういう推論規則？で付け足されてるのでしょうか？ ∃x(P(x)∧Q(x))⇒∃x(P(x))みたいな推論があるならわかるんですけどこれこの逆ですよね。だから他のやり方だと思うんですけどわかんなくて、付け足されたのが真だから∧でつけても真理値変わらないからいいってことなんですかね？ならその推論規則？はどのような論理式？で表せるのでしょうか？

その本では、厳密な論理体系が指定されていますか？特に指定がなければ、「付け足されたのが真だから∧でつけても真理値変わらないからいい」という理解で十分だと思います。 $P(x)$ を $(x,b) \in G \cap (A \times Y)$、$Q(x)$ を $b=p_Y(x,b)$ とすると、$\exists x (P(x))$ と $\forall x (Q(x))$ から $\exists x (P(x) \land Q(x))$ を導くといった変形が行われています。 もし、この変形が正しいことを述語論理の自然演繹で証明したいのであれば、$\forall$-除去、$\land$-導入、$\exists$-導入、$\exists$-除去といった推論規則を組み合わせる必要があります。 ご不明な点や、さらに詳しい説明が必要な場合は、お気軽にコメントでご質問ください。