このサイトはお使いのブラウザでは正常に動作しません。Google Chromeなど、別のブラウザを使用してください。
大学数学の同値関係に関する問題
必要十分条件は、
a〜bであることを証明せよと言う問題なのですが、
a〜bのとき、
aの同値類とbの同値類が等しいことを証明する場合
a〜bを
仮定した時に、
任意のaの同値類cについて、c〜aがいえるので、
推移律より
c〜bが導かれると書いてあるのですが、
この場合推移律を成り立つとして良いのでしょうか?
回答
・反射律 a ~ a
・対称律 a ~ b => b ~ a
・推移律 a ~ b, b ~ c => a ~ c
定義からわかるように,集合Sの関係~が同値関係であるとは,Sのどんな元(=すべての元)に対しても関係~が成立することなので,
前半に書かれていることに違和感を感じました.つまり,”だけ”と限定するのではなく,”すべての”と解釈すべきということです.
後半については,問題質問の文脈から読み取るに,集合にはすでに同値関係が入っているのではないですか?そうであれば
同値関係の定義より,おっしゃっていることは正しいと考えます.ただ,回答として自信が持てないのは"どのようなa, b, c"の部分です.
これらの所在(集合○○に属する元a, b, cなど)をはっきりさせないと,発言の余地がありません.
例えば,実数全体Rに通常の不等号という関係は同値関係にならないなど,同値関係でない例などすぐに見つかります.
ご回答ありがとうございます。 同値関係の定義より、 任意a,b,c対して、 同値関係が成り立つなら、 a〜bならばb〜cとして 推移律はいつも成り立つが、 問題文にどのような集合a,b,cについてのことなのか問題文に書いていなければ、 推移律が成り立つとは言えないということで、よくわかりました。 ありがとうございました。
コメントに目を通してくださりありがとうございます. 文章内容が変更されていたので,改めて内容を拝見しました. 概要としては正しいです.ただ証明があいまいです. 変に説明するより,実際にやってみたほうがいいと考えたので,解きました. この問題では暗黙のうちに集合が指定されていると読んだので,そのように進めました. 集合Xが関係~により同値関係になるとき,Xの元aについて,同値類が考えられます. 同値類の定義は集合{X∍x|x~a}のことで,[a]と書くのでした. ここで集合の元a, b の同値類[a],[b]について, 任意の[a]∍x,[b]∍yでx~yが成立することを示します. [a]∍xよりx~aであり,仮定a~bと推移律より,x~b. さらに,[b]∍yよりy~bであり,対称律よりb~y. したがって,x~y. x, yは任意だったので,すべてのx, yで関係~が成り立つことを意味する. よって,[a]=[b]. 回答としてはくど過ぎると思いますが,しばらくはこれくらいでやっていくと力がつくと考えます. 長々となってしまいましたがよろしくお願いします.
ご丁寧な解説ありがとうございました。 集合Xにおいて、任意のa,b,c に関して同値関係が成り立つ時、 と回答に書けば納得がいきます。 ご回答頂いた答案よくわかりました。ありがとうございました。