このサイトはお使いのブラウザでは正常に動作しません。Google Chromeなど、別のブラウザを使用してください。
大学数学の同値関係に関する問題
必要十分条件は、
a〜bであることを証明せよと言う問題なのですが、
a〜bのとき、
aの同値類とbの同値類が等しいことを証明する場合
a〜bを
仮定した時に、
任意のaの同値類cについて、c〜aがいえるので、
推移律より
c〜bが導かれると書いてあるのですが、
この場合推移律を成り立つとして良いのでしょうか？
回答
・反射律 a ～ a
・対称律 a ～ b => b ～ a
・推移律 a ～ b, b ～ c => a ～ c
定義からわかるように，集合Sの関係～が同値関係であるとは，Sのどんな元（＝すべての元）に対しても関係～が成立することなので，
前半に書かれていることに違和感を感じました．つまり，”だけ”と限定するのではなく，”すべての”と解釈すべきということです．
後半については，問題質問の文脈から読み取るに，集合にはすでに同値関係が入っているのではないですか？そうであれば
同値関係の定義より，おっしゃっていることは正しいと考えます．ただ，回答として自信が持てないのは"どのようなa, b, c"の部分です．
これらの所在（集合○○に属する元a, b, cなど）をはっきりさせないと，発言の余地がありません．
例えば，実数全体Rに通常の不等号という関係は同値関係にならないなど，同値関係でない例などすぐに見つかります．
ご回答ありがとうございます。 同値関係の定義より、 任意a,b,c対して、 同値関係が成り立つなら、 a〜bならばb〜cとして 推移律はいつも成り立つが、 問題文にどのような集合a,b,cについてのことなのか問題文に書いていなければ、 推移律が成り立つとは言えないということで、よくわかりました。 ありがとうございました。
コメントに目を通してくださりありがとうございます． 文章内容が変更されていたので，改めて内容を拝見しました． 概要としては正しいです．ただ証明があいまいです． 変に説明するより，実際にやってみたほうがいいと考えたので，解きました． この問題では暗黙のうちに集合が指定されていると読んだので，そのように進めました． 集合Xが関係～により同値関係になるとき，Xの元aについて，同値類が考えられます． 同値類の定義は集合｛X∍ｘ｜ｘ～ａ｝のことで，［ａ］と書くのでした． ここで集合の元a, b の同値類［ａ］,［ｂ］について， 任意の［ａ］∍ｘ,［ｂ］∍ｙでｘ～ｙが成立することを示します． ［ａ］∍ｘよりｘ～ａであり，仮定ａ～ｂと推移律より，ｘ～ｂ． さらに，［ｂ］∍ｙよりｙ～ｂであり，対称律よりｂ～ｙ． したがって，ｘ～ｙ． ｘ, ｙは任意だったので，すべてのｘ, ｙで関係～が成り立つことを意味する． よって，［ａ］＝［ｂ］． 回答としてはくど過ぎると思いますが，しばらくはこれくらいでやっていくと力がつくと考えます． 長々となってしまいましたがよろしくお願いします．
ご丁寧な解説ありがとうございました。 集合Xにおいて、任意のa,b,c に関して同値関係が成り立つ時、 と回答に書けば納得がいきます。 ご回答頂いた答案よくわかりました。ありがとうございました。