場合の数

新潟大学2024理系大問4(3)について質問です。 模範解答では、箱1-4が空という集合の和集合や積集合を足し引きして確率を出していました。 一方、私は箱へのボールの入り方をしきりとボールのモデルで考えて解いたところ、全く違う答えになりました。私の考え方のどこが誤っているから教えていただきたいです。回答お願いします。大変見辛くなっています。申し訳ないです。

箱2個ボール2個の状態で考えてみると分かりやすいです。 重複組み合わせ（見た目上の場合の数）で考えると3通りですが、ボールの入り方の順序を考慮すると4通りあります。

ガンジーさん、こんにちは。 sattorinn さんの回答の補足を書きます。 根本的な間違いは、ボールを区別しないというところです。 確率の場合は区別しないと正しく求まりません。 4個の箱と4個のボールの場合で、ボールが1個ずつすべての箱に入る確率を求めようとしてみます。ボールを区別しなければボールの入り方は $_{3+4}C_3=35$ 通りある中で、すべての箱に1個ずつ入るのは1つしかないので確率は $\dfrac{1}{35}=0.028\cdots$ です。 ボールを区別した時には、ボールの入り方は $4^4=256$ 通り。4つの箱に1個ずつ入るのは $_4P_4=24$ 通り。確率は $\dfrac{24}{256}=\dfrac{3}{32}=0.093\cdots$ です。異なりますね。分母にくる根元事象が等確率でないと数学的確率は求められません。区別しないときの見た目の1個ずつは本当は等確率ではありません。4個がばらける状態と箱１に全部入るのとでは本来なら確率が異なるはずだがボールを区別しないとどちらも $\dfrac{1}{35}=0.028\cdots$ なので。 確率を求める時は、原則は「見た目が同じでも区別して場合の数を求める」です。たまにはどちらでやっても大丈夫な問題もありますが、原則を貫いたほうが確実ですよ。 これでどうでしょうか？コメント欄になにか返事を書いてください。よろしく。