微分係数の定義を利用する極限

これを見た時に微分係数の定義を利用しようとどうやったら思えるんだろうと思って使う時を調べたら、0分の0の不定形、微分係数の匂わせる形、三角関数、指数対数関数が含まれる、具体的な関数が不明などでてきました。そこで質問なのですがではなぜ2枚目の写真の問題では微分係数の定義を利用しようと思わないのか不思議です。もし、微分係数の定義を利用する時の見分け方があれば教えていただきたいです🙇 別解のはてなは理解できましたので教えていただかなくて大丈夫です よろしくお願いします🙇

モク ロー さん、こんばんは。 まず、三角関数については、2枚目の写真のAction　にあるとおり、超大事な、超便利な極限の公式があるので、第一にそれが使えないかを試すべきなのです。そう思っていれば、三角関数の時には微分係数の定義を使わないで出来る方が多いです。 またその公式自体が（証明自体は違いますが）微分係数の定義と同じで $\lim_{\theta\to 0}\dfrac{\sin\theta }{\theta}$ を $\lim_{\theta\to 0}\dfrac{\sin\theta-\sin 0 }{\theta-0}$ と考えれば、これはサイン関数のｘ＝０における微分係数の定義式ですから、2枚目の写真の問題はすべて微分係数の定義でもいけますよ。やってみてください。 また逆に、1枚目の写真の（１）は別解にある通り $\lim_{x\to 1}\dfrac{\sin \pi x}{x-1}$　で、ｘ－１＝ｔと置けばｘ＝ｔ＋１で $=\lim_{\pi t\to 0}\dfrac{\sin \pi t}{\pi t}\cdot (-\pi)$ $=1\cdot (-\pi)$ と、大事な公式を使って極限は出せます。 微分の定義は使いません。 これでどうでしょうか？コメント欄になにか返事を書いてください。よろしく。