曲線の漸近線

漸近線を求めるときの手法についての質問です (1)では公式②を使っているのですが、どの手法を使ってどのように調べたらその定数を探せるのですか？(ここでは2) (1)で使った公式③で、そのxはどのようにきたのがわかりません、私自分なりに思うのは、(1)の最初のxが邪魔だから、それをひいていたのです。 (2)も同様に、どのように調べたら公式②となる定数pがないということをわかったのですか？ また下でいきなりy/xとなっている。これは極限値を調べやすくするための工夫ですか？ またこの結果の極限値3と下の式y-3xの3とどのような関係を持つのもよくわかりません。 拙い文章ですがよろしくお願いします🙇

間島 悠翔 さん、こんばんは。 （１）について。 縦の漸近線は、たいてい分数の形の関数で出てきます。 分数の分母が０になる場所では関数の値は±∞になるのは大丈夫ですか？ 分母がｘ²－４＝(ｘ＋２)(ｘ－２)ですからｘ＝±２のとき分母は0になります。 この時分子は０にはならないので（有限の値)/0という形になり関数の値は±∞になりそうですね。 ＋∞になるのかー∞になるのかはｘ→２＋０、ｘ→２－０、ｘ→ー２＋０、ｘ→ー２－０のそれぞれを調べないと分かりません。 分母の符号と分子の符号に気をつけます。 斜めの漸近線について。この問題ではｘという項が前に出ています。後ろの分数式は分子が1次、分母が2次ですから、ｘ→∞で０に近づきます。 ですから公式③を用いずに漸近線はｙ＝ｘであることは分かります。答案上はこれだけで大丈夫です。模範解答では後ろの分数式がちゃんと０に収束することを示していますからていねいな解答です。 公式③をちゃんと使ってもいいですよ。y/xの極限値を調べれば１が求まりますよ。 ただ、この問題のように1次式＋分数式になっている時は③をきちんと使わなくても大丈夫ですが。 （３）について。 上に書いたように、縦の漸近線ｘ＝aみたいなのができるのは分数の形の関数で分母が0になるときに限ります。あ、いや、対数関数でも真数が→＋０の時に縦の漸近線は出ますね。この問題は分数の形でも対数関数でもないので縦の漸近線はないことが分かるのです。 「また下でいきなりy/xとなっている。これは極限値を調べやすくするための工夫ですか？」これは公式③の根本の話です。写真には公式的にやり方だけが見えていますが、その問題の前の方に解説とかないのでしょうか？ ちょっと大変ですが書いてみますか…。 関数 $y=f(x)$ が「斜めの漸近線 $y=ax+b$ をもつとすると」（持たないときはこんなことをやっても無意味ですからね）、ｘが無限に大きくなった時はf(x)の値とax+bの値がほとんど等しくなるはずです。 $f(x)\fallingdotseq ax+b+$ごみ　と書けますね。この時aの値はどうやったら求まるかというと… $\dfrac{f(x)}{x}\fallingdotseq \dfrac{ax+b+ごみ}{x}=a+\dfrac{b+ごみ}{x}$ ですからｘ→∞にしてやれば分数部分は０になりaが得られそうですね。 ですから、本当に斜めの漸近線を持つときはｘ→∞のときの$\dfrac{f(x)}{x}$の値が漸近線の傾きになりますよ。aがわかったら次はｂの値です。 ｘ→∞のときf(x)≒ax+bなので、f(x)-ax≒ｂです。ｘ→∞のときに≒ではなく＝になり、ｂが求まるというわけです。 これで大丈夫ですか？コメント欄になにか返事を書いてください。よろしく。