図形と漸化式

〇数B 49 (1)(2)両方共通してですが、n個の交点があるとn+1個の領域が増えるというのは小さい数字で実験した結果を使っているのでしょうか？それとも当たり前なのでしょうか...

北大 受かりたい さん、 これもよくある設定ですが、はじめてこのタイプの問題に当たったときは、なかなか解法は見つからないですが、その模範解答を読んで、身につけていけばいいのです。ですから「あたりまえ」ということではありませんが、一度解いたら頭に入れておいて、引き出すのですね。あなたも2度目からは大丈夫だと思います。 理屈はこうです。 ｎ＋１番目の直線は、もともとｎ本の直線によって細分された領域を通過しながら、走っています（動画風に）。ある領域を通り過ぎたときに、その領域は2つに別けられて、領域の数は１つ増えました。そのあと、また別な領域を横切るときに、その領域を2つにして、領域の数は１つ増えますよね。 このようにしてｎ＋１本目の直線は領域の数を増やすのですが、何個増やすでしょう？ｎ＋１番目の直線は、それまでに引いてあったｎ本の直線とｎ点で交わります。1本目と交わると領域は1個増えます。2本目と交わるとまた1個増えます。最後のｎ本目と交わったときも1個増えますが、その先の半直線も（この後は交点はないですが）無限に広がっている領域１つを2つに別けますよ。これで合計ｎ＋１個増えたのです。 もちろん小さい数で実験して推測することもできますが、推測だけではだめで、理屈も理解しましょう。 解答で言っているのは、ｎ＋1本めの直線がいくつの部分に分けられたのか→ｎ－１個の線分と2個の半直線の合計ｎ＋１個の部分に分けられる→領域の数はその各部分（ｎ－１個の線分と2個の半直線の合計ｎ＋１個）で1つの領域を2つに別けているので、領域はｎ＋１個増える！というのです。 この考え方を頭のすみに入れておいてください。 これで大丈夫ですか？