式と曲線

〇数C　171 X,Yの関係式を導出するところまではわかったのですが、相加相乗で範囲を出すところあたりから思考回路がわかりません。軌跡を求める→範囲をださねば→範囲が出しやすい形のXの範囲を出すという思考回路ですか？ｙは出しにくいから出さないのでしょうか。 また、解説下から 2－4行目が何のための式なのかがわかりません。

北大 受かりたい さん、 双曲線になるところまではOKなのですね。 図形が求まったら、軌跡の限界（範囲）を調べます。解答の6行目より、 $x=\left(r+\dfrac{1}{r}\right)\cos\alpha$ となるので、どう見てもｘの範囲がありそうです。そこで相加相乗平均の関係を使いました。 一方、ｙについては $y=\left(r-\dfrac{1}{r}\right)\sin\alpha$ ですので、$-\infty < r-\dfrac{1}{r} <\infty$ なので、ｙ方向には制限はつかないですね。 そのあたりのことは解答にかかなくても、式をみて見抜きます。 しかし、この解答ではｙについては最後の４～２行目で説明していますよ。 ｒ＞０ならもちろん $\dfrac{1}{r}$>0 です。下から4行目の2式（これは上から7行目の式ですね）それぞれにsin α（＞０）をかけると出てくる式です。それを一つにまとめてみれば下から3行目になり、タンジェントは０から∞までのあたいを取れますので、$-\infty < r-\dfrac{1}{r} <\infty$ であり、ｙ方向の制限はつかないよ、と言っている（らしい）のです。模範解答として読者に読ませるには、ちょっと説明が足りないですね。 これで大丈夫ですか？