逆関数と積分

手法を真似して書いてみたのですがなんかじっくり来ません。 gxーy、dxーf‘ydyの置換をよくわかりましたが、やはりfbとfaです x=fyよりgx=gfy=yという枠にaとbを入れるだけという理解は正しいでしょうか？ 補足をお願いします

積分の範囲の変換のところですね。 $f(a)=A,f(b)=B$ とします。$g(x)$ は $f(x)$ の逆関数なので、$g(A)=a.g(B)=b$ であるのは大丈夫ですか？ （a→ｆ→A 、b→ｆ→Bなのだから a←ｇ←A、ｂ←ｇ←Bですよ。） だから $g(f(a))=g(A)=a,g(f(b))=g(B)=b$ となります。これがｙについての積分の範囲です。 積分そのものは、ｘの関数ｇを積分したいのですが、のものをｙと置換しています。 $g(x)=y$ と置換すると、被積分関数はｙ。dxはどうなるのか知りたいので$g(x)=y$ より逆関数ｆを使えば $x=f(y)$ が得られます。大丈夫ですか？ よってdxが求められます。$dx=f'(y)dy$ 。これはOK？ これで「よって$I$＝…」の式になります。 これで分かりますか？分かりにくいところはさらに突っ込んで質問してください。

上の訂正 $=a.g(B)=$ → $=a,g(B)=$ ですが、のものをｙ→ですが、g(x)そのものをｙ

追記、拝見。 一番素直なのは、「元にもどる」ということです。 aをｆで変換したらf(a)＝Aになりました。逆関数というのはAをaに変換することです。 ですからg(f(a))=aだしf(g(A))=Aです。 公式として$f^{-1}(f(x))=x$ とか $f(f^{-1}(x))=x$ と書きます。 それを理解していれば、機械的にそのようにやっていいですが。 解答の10行目で、ｇはｆの逆関数$f^{-1}$ なのですから、それはしごく当たり前のことなのです。 変換して逆変換したら元に戻る！ということですよ。

模範解答の６，７行目は置換ですので、ｙなんか使うので紛らわしいのかもしれません。 単に「g(x)=tと置き換える」でいいのです。 これで積分の上端下端は 「t=g(x)と置き換えるので、x=f(a)のとき置換により、tのときの下端=g(f(a))＝a、上端＝g(f(b))=b」ならしっくりきますか？