複素数に関する図形の性質

複素数での平行・垂直・偏角などの条件に関して問題をやって要点をノートでまとめたのですが あまりにも公式？の相違点が多すぎてこれを覚えるの..ってなりました 以下でまとめたものはすべて大丈夫ですか？ 問題ないのであれば以下の公式の書き換え(覚えやすい違う書き方)ってありますか？ よろしくお願いします🙇

悠翔さん、こんばんは。 そこに書いてあることがらは一つのことが分かればまとまりますよ。 複素数とベクトルは親戚みたいなもので、複素数で図形を考える時はベクトルの世界に持ち込むと分かりやすいことが多いです。 A(α）、B(β）、C(γ）とします。ベクトルの世界では位置ベクトルOA,OB,OCだと思ってください（ベクトルの上にくる矢印は省略しますよ）。 このとき複素数の世界でのαーβはベクトルの世界ではOAーOB=BAを意味します。 同様にγーβはベクトルではOC－OB=BCです。 割り算では商の複素数は長さが絶対値の商、偏角が引き算ですから、 $\dfrac{\alpha-\beta }{\gamma -\beta}$ で得られる複素数は偏角が $\arg{(\alpha -\beta)}-\arg{(\gamma -\beta)}$ で、ベクトルの世界ではベクトルBAとBCのなす角∠ABCになるのはわかりますか？ このことが、あなたのノートの最初に書いてあることがらです。ベクトルの割り算の分母分子で引く方の複素数の点が角の頂点になりますよ。 あなたのノートの真ん中のやつですが、上にある公式と同様に引くのはβにそろえておいた方がいいです。 ３点A,B,Cが１直線上にあるなら、ベクトルBAとCAは同一直線になり、$\arg{(\alpha -\beta)}-\arg{(\gamma -\beta)}$ はBAとCAのなす角ですから０かπ。 つまり複素数 $\dfrac{\alpha-\beta }{\gamma -\beta}=\dfrac{|\alpha-\beta |}{|\gamma -\beta|}(\cos 0+i\sin 0)=|\gamma -\beta|=実数$。πの場合もおなじく$i\sin \pi=0$ より実数になりますね。 同一直線上にある＝その割り算の結果が実数。 垂直の場合ですが、あなたはABとCDでやってますが、まずABとCBでやった方がいいです。 １直線の場合のように考えればベクトルABとCBのなす角が±π/2ですから、その割り算の商は $\dfrac{\alpha-\beta }{\gamma -\beta}=\dfrac{|\alpha-\beta |}{|\gamma -\beta|}(\cos \pm\frac{\pi}{2}+i\sin \pm\frac{\pi}{2})=|\gamma -\beta|i=純虚数$。垂直に交わる＝その割り算の結果が純虚数。 ABとCDでやるときはCDを平行移動してDをBに重ねたときのC'Bで考えれば同じことが言えます。 以上、大事なことは、あなたのノートの初めのことがらです。それを理解して覚えておけば、同一直線→偏角の差が０かπ→サインの部分が０だから実数　とか、垂直→偏角の差が±π/2→コサインの部分が０だから純虚数。ということで、統一的に覚えられますよ。 これでどうでしょうか？