組み合わせの式変形について

質問失礼します。文系の大学3年生です。最近訳あって大学の微積の教科書を読み始めました。高校数学の知識すらうろ覚えの状態です。 教科書によると画像のように式変形できるようなのですが、納得がいきません。 n!と1/(n-k)!が影響しあってn・(n-1)・(n-2)・...・(n-k-1)が出てきたのだろうな思ったのですが、そこで詰まってしまいました。 どなたか詳細な計算過程を示してくださると幸いです。。

なすび 大明神 さん、こんにちは。はじめてのかたですね。よろしく。なにか拝みたくなるようなお名前ですね！ あなたの考えでほぼ終わりです。あ、質問文のn-k-1はn-k+1の間違いですね。 $\dfrac{1}{k!}$ は別にして先頭に出していますから、それはいいかな？ 次、ｎ！と(n-k)!との約分で、分子にn(n-1)(n-2)...…(n-k+1) が残ります。これは全部でｋ個あります。そこは大丈夫ですか? さて、$\left(\dfrac{1}{n}\right)^k=\dfrac{1}{n^k}=\dfrac{1}{nnnn\cdots}$ となって、分母にｎがｋ個くることになります。 これで分母のｎ1個に分子の因数の1個を割り当てて1個ずつの分数にしていけば、結論のような式になりますね。 これで大丈夫ですか？ ここでは会話型を目指しています。これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄になにか返事を書いてください。返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのか、こちらではわからないのです。コメントよろしく。 数学、がんばってください。