ベクトル方程式で表される図形

連投失礼します。 写真の例題にある回答についてです。 2行目からの式変形が何故そうなるのか分かりませんでした。 解説お願いいたします。

ひなたさん、こんにちは。 ちょっといやなことをしています！ ベクトルの式の平方完成みたいなことをやっているのです。 ベクトルには掛け算は内積があって、でも内積は２乗という考えはないのです。 ベクトルｐとベクトルｐの内積はｐ²とは書けず、ｐ・ｐ＝|ｐ|²としか書けないのです。 まず、与えられた式を、ベクトルではなく実数の式だと思って平方完成しますよ。 $p^2-ap-bp$ $=p^2-(a+b)p$ $=\left(p-\dfrac{a+b}{2}\right)^2-\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2$ $=\left(p-\dfrac{1}{2}(a+b)\right)^2-\left(\dfrac{1}{4}(a+b)^2\right)^2$ で、この式をベクトルの式に書き換える時に、掛け算は内積に、２乗は絶対値の２乗になおすと、３行目が得られます。 解答ではこのあたりは省略して、一気にベクトルのままで平方完成的なことをしていますが、このような変形はなかなか素人には（高校生には）できませんよね。問題の式を見て怪しいなと思ったら、実数の式だと思って平方完成するなり因数分解するなりして、２乗が出てきたら絶対値の２乗にし、２つの文字の積は内積にします。それで偏買いができますよ。 でも…その解答はちょっと模範とは言いかねますね。 別解＝お勧め $|p|^2-a\cdot p-b\cdot p=0$ $p\cdot p-a\cdot p-b\cdot p=0$ $p\cdot \big(p-(a+b)\big)=0$ ベクトルa＋ｂは定まったベクトルで、その点をCとすると、 $p\cdot \big(p-c\big)=0$ この式をながめると、何か気が付くことはないですか？ （考えた？） （見つかった？） （下を見ないで、自分で見つけなさい！！） 内積＝０→垂直！！ ベクトルｐとベクトルCPは垂直だって！ つまり線分OPと線分CPは垂直なんだぞ！ ということは… PはOCを直径とする円の上にある！！！ 答としては「ベクトルa＋ｂの表わす点をCとすると、PはOPを直径とする円を表す」 でもいいし、図を書いてみればOCとABは中点で交わることは明らかなので、写真の解答のような答え方もできます。 このほうがベクトル的な解き方です、エヘン！ 写真の解法は力ずくですね。 これで大丈夫ですか？