整数の証明問題　(2次方程式が整数解をもつ条件)

はじめまして🙇‍♀️ 数学IA 整数の証明問題についての質問です。添付画像の解法で間違えている部分を教えていただきたいです。 問題(2)を合同式を使い、場合分けして解こうとしたのですが、a≡3のときmが偶数になることが示せませんでした…。考え方自体が間違っているのでしょうか？ よろしくお願いいたします！

Maru Masa さん、こんばんは。はじめてのかたですね。よろしく。 a≡３(mod4)のとき２ｍは偶数にすらなりえないということが分かったのです。 つまりa≡３であるような整数はその2次方程式の整数解にはなりえないということが分かっただけですから、「その2次方程式が整数解を持つとき」にはその整数解は絶対３に合同ではない、ということです。別に「任意の整数が解になる」というような条件ではないので矛盾はしませんよ。 また、(ii)a≡１のところは間違っていますね。２ｍ≡１－４＝－３≡１ですね。 ですからa≡１であるような整数解も持たないということです。 この問題は合同式を使わない方がいいかもしれません。 $a^2-4a=2m$ 右辺は偶数だから左辺も偶数。 左辺の4ａは偶数だから $a^2$ も偶数。 ということはａは偶数（2の倍数）。 よってａ²は4の倍数。 $a^2=4p$ （ｐは整数）と書けるから、 $4p-4a=2m$ $2(p-a)=m$ ｐ－ａは整数だからｍは偶数。 （証明終わり） これを合同式を使って記述することはできますが、使った方がきれいだという感覚ならいいですが、それほどでなければ普通に言葉でいいと思います。 あるいは「ポイント」にある通りに $a=4m+r　(r=0,1,2,3)$ とおいて、 $x^2-4x-2m=0$ が成り立つためのｒの条件からも証明できます。 ｒは偶数でなければならないということが分かって （４の倍数)ー2m＝０よりｍは偶数となりますよ。 これで大丈夫ですか？ ここでは会話型を目指しています。 これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、下のコメント欄になにか返事を書いてください。返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメントよろしく。