このサイトはお使いのブラウザでは正常に動作しません。Google Chromeなど、別のブラウザを使用してください。
お金の入った封筒の交換
YouTubeで見た問題で
"""
お金の入った2枚の封筒があり、片方にはもう片方の２倍のお金が入っていることしかわかっていない。この状況で一方を開けてみると、千円が入っていた。
このとき、一度だけ封筒の交換ができるが、交換した方が得か？
"""
という問題がありました。
『一方を開けると千円が入っていた』
という前提が無ければ、x円の入った封筒と2x円の入った封筒を等しい確率で取ることになるので交換は無意味であることは分かるのですが、この条件があるともう片方は500円か2000円である確率が二分の一になり、交換する方が得であるように見えてしまいます。
しかし、ここで交換する方が得であると言ってしまうと、この『1000円』の部分が『X円（任意の価格）』であっても交換する方が得となってしまい、封筒を開く前から交換する方が得となってしまい直感に反します。
恐らく交換しても期待値は変わらないと思うのですが、どの部分がおかしいのか自分では分からず質問しました。
私は高校数学の知識はあると思って回答してくださって問題ありません。
回答
沖 唄 さん、こんにちは。はじめてのかたですね。よろしく。
動画、見ましたよ。
その動画にもある様に、それは期待値の計算にはなっていませんね。
期待値は、実際に起こりうることから計算します。
１０００円を引いたら「もう片方は500円か2000円である」というのは真実ではないです。
１０００円が多いほうだとしたら、２０００円入った封筒は存在しません。それなのに確率５分5分で２０００円が得られると考えるのは無意味ですね。
期待値を計算するには、その値が実際に実現することがあり、その確率も分かっている場合です。
したがって、５００円が残っているか、２０００円が残っているというのが事実であるかどうか全く不明ですから期待値は計算できないというのが結論だと思います。
これで大丈夫ですか？
ここでは会話型を目指しています。これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、下のコメント欄になにか返事を書いてください。返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメントよろしく。
回答ありがとうございます、くさぼうぼうさん。 いただいた回答についてですが、申し訳ありませんがまだ納得できていません。 ``` ５００円が残っているか、２０００円が残っているというのが事実であるかどうか全く不明 ``` とありますが、前提として『封筒の片方にはもう片方の二倍の値が入っている』と情報が与えられているので、片方が１０００円であったならば、もう片方が５００円か２０００円のどちらかであるのは確実であるように思われます
こういうのって分かりづらいですよね。 $500\times \dfrac{1}{2}+2000\times \dfrac{1}{2}=1250$ という計算は「ここに５００円入った封筒と２０００円入った封筒がある。１つを選んだ時の入っている金額の期待値は？」と問われたときの式ですよね。 １つの封筒だけがあって、そこに入っている金額について「５００円入っている確率は1/2、２０００円入っている確率も1/2」などという根拠はないです。可能性として５００円か２０００円だという話にはうなずけますが、確率がともに1/2だという根拠はないです。ですから期待値なんてそもそも計算できません。 いかがでしょうか？
つまり、1000が小さい方の数字として得られるか、大きい方の数字として得られたかの確率を得られないのが原因ということですね。 例えば、小さい方の数字が５００である確率と１０００である確率が等しいならば、封筒の片方として１０００が得られた時に交換した方が得になりますよね？
その動画のURLを教えてください。
すみません、動画を見たのは結構前なので、履歴を漁ってみたのですが見つけられませんでした。厳密には問題を提示された訳ではなく『おじいちゃんにこんな風にお年玉を渡された』みたいなエピソードだったと思います。 この時に『どっちが得なのか？』と疑問を覚えていた所に、似た問題をやってる下の動画を見て質問しました。 こっちは最初に一枚引く条件がないものですね https://youtube.com/shorts/tIxI9fWgvbo?si=nC0zfj2SUi_OinAJ