合同式変形の同値性について

ご回答ありがとうございます！ よろしくお願いします｡ ka≡kb (mod p) で､kとpがもし互いに素であれば､ a≡b (mod p) とできるということですね｡ 一方で､互いに素ではなく､ ka≡kb (mod kp) ･･･ (A) のとき､ka-kb≡0 (mod kp)であり､k(a-b)はkpで割り切れるということなので､a-b≡0 (mod p)ということになると理解しています｡これは a≡b (mod p) を意味するので､(A)の両辺と法をすべてkで割った形になっています｡ ※このあたりは､↓の動画にもあります｡ https://youtu.be/a86gVUeWSHQ つまり､ 2x≡-2 (mod 4) ･･･(3) と(A)を比べると､k=2,a=1,b=-1で､両辺と法を2で割ると x≡-1 (mod 2) ･･･(3)' となります｡ 長々とすみません｡ 何が言いたかったかというと､互いに素でないが､両辺と法が全て同じ整数で割れるときは割ることができるということが言いたかったです｡

>なお、その式の変形はすべて同値ですよ。 ここもまだ理解できていません｡申し訳ありません｡ うまく説明できないかもしれませんが書いてみます｡ 11x≡1 (mod 4) ･･･ (1) 3x≡1 (mod 4) ･･･(2) 2x≡-2 (mod 4) ･･･(3) x≡3 (mod 4) ･･･(4) たとえば､x=3を(1)～(4)に代入すると､すべての式で成り立ちます｡ ところが､x=5を代入すると､(3)は成立しますが､その他は成立しません｡ ですので､少なくとも(3)は(1)(2)(4)とは同値ではないのではないかと考えました｡

コメントを拝見したり、動画を見たりしました。 感じとしては、（３）が同値ではないのではなく、（３）からｘ≡ー１(mod2) を作るところが同値ではなく、必要条件になっているような気がしますが、うまく言えません。 私は合同式には苦手意識があり、どうやらあなたの質問にお答えできそうもありません。 ゴメンナサイ🙇

あ、そうではないですね。

お時間を割いていろいろ調べていただいてありがとうございました｡