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東北大理系数学1987-6　積分の平均値の定理を利用した別解について

    塚 祐 (id: 4400) （2025年11月28日23:23）
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    【概要】 ・参考書の解答の流れまでは理解できたが、積分の平均値の定理の使った別解を導出できなかった。 ・自分は社会人であり、技術系資格取得のために、数学を勉強しなおしている。 【詳細】 標準問題精講ⅢCの演習問題85-2(東北大理系数学1987-6)の解き方に関して、質問させてください。 本問の参考書には、部分積分を経てsinx/xの極限を利用して解く解答が示されています。 解１の④までは、なんどか自分なりに理解することが出来ました。 ですがこの問題を、積分の平均値の定理を利用して解こうと試みても、⑧のような間違った値にしか行き着きません。 この演習問題に対する標問85のテーマは、積分の平均値の定理を利用した極限ですから、 演習問題も積分の平均値の定理を活用して、部分積分を使わずに鮮やかに解けるようになりたいです。 残念ながら、参考書の解答には、積分の平均値の定理を利用した別解がありません。 自分の考えた(解2)のどこに誤りがあるのか、ご指摘のコメントを頂ければ幸いです。 有識者の皆様、どうぞよろしくお願いいたします。

    問題と解1_raf.png

    解2_faf.png

    回答

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2025年11月29日12:45）
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    塚 祐 さん、こんにちは。はじめてのかたですね。よろしく。 解２の左側の一番最後で、aとｃはともに関連づきながら０に近ずく(cはaの関数）のに、あなたは先にｃだけ０にしてしまっています。 たとえば、 $\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x}$ で、ｘ→０のときsinｘ→０だから $=\lim_{x\to 0}\dfrac{0}{x}$　右極限と左極限が一致しないので極限値なし。 とやっているようなものです。 じゃ、積分の平均値の定理を使ってどう解くか、まではまだ考えてはいませんが。 解けるものなのかなぁ。 とりあえず、ここまではいいでしょうか？ ここでは会話型を目指しています。これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、下のコメント欄になにか返事を書いてください。返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメントよろしく。
    塚 祐 (id: 4400) （2025年11月30日1:16）
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    回答者様 ご回答ありがとうございます。 言語化は難しいのですが、回答者様の指摘が、何を言わんとしているのか、自分なりにではありますが、何となくわかりました。 確かに、成り立っていないというのは、納得いたします。 まず、画像2枚目右上で、0(≒C)をaで割ってしまっていますが、そもそもaも0に限りなく近い無限小なのだから、0/0で不定形なのですね。 加えていうなれば私の解答においては、a→0ならc→0に収束するのはともかく、cの無限小が0よりなのか、あるいはaよりなのか、はたまた2aなのかは、まったく判別ができない、厳密性を欠いた解答となっています。 私の認識としては、本問は、積分の平均値が適用できそうで適用できない問題(?)、として受け止めたいと思います。 ※というか、著者の先生には、ちゃんと補足等で本の中で説明してもらいたかったです。

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2025年11月30日8:18）
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    「0(≒C)をaで割ってしまっていますが、そもそもaも0に限りなく近い無限小なのだから、0/0で不定形なのですね。」…言わんとするところは分かりますが、そこもｃ≠０なのですから0(≒C)というのはおかしいです。c/を考えるなら、「どちらも０に限りなく近づくので0/0の不定形」ですね。 「加えていうなれば…まったく判別ができない」…その通りですね。ですからそのままでは極限は求まりません。aとｃの関係が分からないとね。 「私の認識としては…」…そこは何とも言えません。その問題が乗っている章だか節だかのタイトルは何だったんですか？積分の平均値の定理を学ぶ章なんでしょうか？部分積分で解いてはその章の主題からもずれていますか？

    塚 祐 (id: 4400) （2025年11月30日15:06）
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    回答者様 コメントありがとうございます。 この問題が乗っている章は、「第3章、積分法とその応用」です。 問題のタイトルは、「標問85　定積分と極限(1)」となります。 精講で「積分の平均値の定理」に関する説明を行い、その定理を用いた解答が示されています。 但し、微分係数の定理を用いた別解(積分の平均値の定理を利用しない解き方)も研究という扱いで説明がなされています。 演習問題を部分積分で解いても、この章主題や表問の主題からズレるものではないと感じます。 ただし、精講でポイントとして強調されているのは、はやり積分の平均値の定理との印象は受けます。 テクニカルに解くよりも、部分積分や微分係数の定義を駆使して、泥臭く地道に処理をするほうが大切というのであれば、 積分の平均値の定理による解法は、標問の中では別解や研究扱いにしてほしいとは思いました。

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2025年11月30日19:40）
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    ま、そのへんはいろいろなご意見があるでしょう。泥臭いかスマートかはいろいろですね。 またどうぞ。

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