東北大理系数学1987-6　積分の平均値の定理を利用した別解について

【概要】 ・参考書の解答の流れまでは理解できたが、積分の平均値の定理の使った別解を導出できなかった。 ・自分は社会人であり、技術系資格取得のために、数学を勉強しなおしている。 【詳細】 標準問題精講ⅢCの演習問題85-2(東北大理系数学1987-6)の解き方に関して、質問させてください。 本問の参考書には、部分積分を経てsinx/xの極限を利用して解く解答が示されています。 解１の④までは、なんどか自分なりに理解することが出来ました。 ですがこの問題を、積分の平均値の定理を利用して解こうと試みても、⑧のような間違った値にしか行き着きません。 この演習問題に対する標問85のテーマは、積分の平均値の定理を利用した極限ですから、 演習問題も積分の平均値の定理を活用して、部分積分を使わずに鮮やかに解けるようになりたいです。 残念ながら、参考書の解答には、積分の平均値の定理を利用した別解がありません。 自分の考えた(解2)のどこに誤りがあるのか、ご指摘のコメントを頂ければ幸いです。 有識者の皆様、どうぞよろしくお願いいたします。

塚 祐 さん、こんにちは。はじめてのかたですね。よろしく。 解２の左側の一番最後で、aとｃはともに関連づきながら０に近ずく(cはaの関数）のに、あなたは先にｃだけ０にしてしまっています。 たとえば、 $\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x}$ で、ｘ→０のときsinｘ→０だから $=\lim_{x\to 0}\dfrac{0}{x}$　右極限と左極限が一致しないので極限値なし。 とやっているようなものです。 じゃ、積分の平均値の定理を使ってどう解くか、まではまだ考えてはいませんが。 解けるものなのかなぁ。 とりあえず、ここまではいいでしょうか？ ここでは会話型を目指しています。これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、下のコメント欄になにか返事を書いてください。返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメントよろしく。