内積と三角形の面積

(→a・→b/|→a||→b|)^2のところについてなのですが分母は二乗を分けてつけてるのに対して分子は(→a・→b)^2となっているのは何故ですか？→a^2・→b^2ではないのですか?

わんこ わんわん さん、こんにちは。 説明その１ 内積って $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta$ で計算される１つの実数です。 あくまでも1つの実数を表す表現の式なので、それをくずすわけにはいきません。内積という実数を2乗するときは $\left(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\right) ^2$ と書くしかないのです。 説明その２ ベクトルって広い意味での「数」ですが、「実数」ではありません。実数には掛け算というものがあって、2回かけることを2乗で表わします。でもベクトルは実数ではない「数」で、ベクトルの世界での計算では実数のような掛け算というものはありません。（$|\overrightarrow{a}|$ は実数ですよ)　内積というのはベクトルの世界での計算（演算）のひとつで、$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta$ とか $(a,b)\cdot (c,d)=ac+bd$ というように定義されていますよ。同じものを2回「掛ける（内積を作る）」時は $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}$ としか書けません。実数のような2乗はなく、$\overrightarrow{a}^2$ という書き方はできません。 説明その３ 仮に$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}$ を$ \overrightarrow{a}^2$ と書くことを認めたとしても、それは $|\overrightarrow{a}|^2$ を表わし、$\left(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\right)^2=\overrightarrow{a}^2\cdot \overrightarrow{b}^2=|\overrightarrow{a}|^2\times |\overrightarrow{b}|^2$ となり、正しい式 $\left(|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta\right)^2$ に出てくるコサインが出てきません。 これで大丈夫ですか？