方程式の実数解の個数

(1)の問題の答えがわからなくて解説を読んでいたら lim log x÷e^x=－∞ x→∞ になった意味がわかりません。 また、 lim f(x)=－∞ x→+0 になる意味がわかりません。 誰か教えてください。

只隈 佑汰 さん、こんにちは。はじめてのかたですね。よろしく。 そこはイメージ的に理解しますよ。 どういうことかというと、ｘ→∞のときの、分子ｘと分母$e^x$ の増加の仕方を比べてみてください。グラフでもわかる通り、分子ｘは常に変化率１で増えていますが、分母$e^x$ の変化率（微分係数）はどんどん大きくなっていきます。ま、グラフの形からも明らかですが、ｘが増えていくときの分子と分母の増え方が段違いに違うのです。分母の方がはるかに速く大きくなります。そうなると $\dfrac{x}{e^x}\to 0$ になるので、その対数の真数はどんどん＋０に違づき、対数の値はー∞に発散していきますよ。 厳密な証明もありますが、いまはイメージだけでいきます。 ｘ→∞のときの増加のスピードについては $\log x <x^k<e^x$ であることが知られています。ｋは正の実数です。今の問題ではｋ＝１です。ｋが１０００になったとしても指数関数の方がずば抜けて速く大きくなるのです。対数関数はｘの累乗の関数より大きくなるスピードは小さいのです。 厳密な証明や、大事な極限については検索すればたくさん出てきますよ。 次。 $\lim_{x\to +0}(\log x-x)$ で、logxはグラフを考えればｘ→＋０でどんどん下に下がっていき（－∞になり）、ーｘのほうはどんどん０になってしまうので無視できて、引き算の結果はほぼlogxと同じです。ですから＝－∞になりますよ。 これで大丈夫ですか？ ここでは会話型を目指しています。 これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、下のコメント欄になにか返事を書いてください。返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメントよろしく。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 追記　2026/01/08　22:20 コメント拝見しました。 コメントの最後の式の気持ちは分かりますが、おかしいです。log 0 というのはないですが（真数＞０ですから）、対数関数のグラフ（教科書にありますね）でｘの正の方から０に近づけばグラフはｙ軸に近づいてその下の方にどんどん行きます。つまり対数関数の値は、ｘが正の方から０に近づけば関数値ｙはー∞に進みますね。 ・f(x)を変形して１つの対数関数にしました。 ・ｘがどんどん大きくなるとその対数関数の真数はどんどん０に近づくことが分かりました。 ・対数関数で真数が０に近づけば、関数値は負になっていくらでも小さくなります。対数関数ｙ＝logx（ここでいうｘは一般の変数です。この問題のｘではないです）のグラフから分かります。 これで大丈夫ですか？