画像の問題2（4）について

（4）の解答にある「③より0<|Xn−√a|<(1/2)^（n−1）|X1−√a|→0」という部分なのですが、(1/2)^（n−1）の部分の導き方を教えて頂きたいです。

hana はな さん、こんにちは。 ③の式の意味を考えてみますと、それは $|x_n-\sqrt{a}|$ という数列の漸化式（等式ではなく不等式の関係です！）のようなものです。 その数列のｎ項目は(n-1)項目の1/2より小さい で、さらに(n-1)項目は(n-2)項目の1/2より小さい。だからｎ項目は(n-2)項目の1/4より小さい。 さらに(n-2)項目は(n-3)項目の1/2より小さい．だからｎ項目は(n-3)項目の1/8より小さい。 これを続けていけば最後に第2項は第1項の1/2より小さい。だからｎ項目は第1項目の$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$ より小さい！ 逆にたどって考えてもいいですよ。第2項目は第1項目の1/2より小さい． 第3項目は第2項目の1/2より小さい．よって第1項目の1/4より小さい。 以下同様にたどっていって 第ｎ項目は第(n-1)項目の1/2より小さい．よって第1項目の$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$ より小さい！ いずれにしても、③は隣接2項間の関係式、漸化式です。それが1/2という公比？で規定されていることを見抜けばいいのです。 このような推論はときどき出てきますので、慣れておくといいと思います。 これで大丈夫ですか？下のコメント欄になにか返事を書いてください。よろしく。