置換積分法のxとtの対応

x=a(t－sin t) のxとtの対応が x=0の時t=0 x=2πaの時t=2π になる計算の仕方がわかりません。 ご教示お願い致します。

只隈 佑汰 さん、こんばんは。 そもそもサイクロイドの媒介変数表示がそのようになったのは、円がｔ（ラジアン）だけ回転して動いたときのｘ、ｙ座標を求めるとその式になるということでしたね。これを使えば、半径aの円がｔ＝０の時に原点でｘ軸に接していて、1回転すなわちｔ＝２πの時に（２πa、０）でｘ軸に接することになります。ですから回転角ｔの範囲は０から２πになります。その本の１３８ページにあるみたいですね（笑）。 しかし、それを使わずに、純粋に置換積分で考えたいのですね。 $a(t-\sin t)=0,a(t-\sin t)=2a\pi$ を解きたいのですね。 $a(t-\sin t)=0$のほうは直線 $y=t$ と$y=\sin t$ の共有点を考えればｔ＝０しかないことはグラフから読み取れます。 $a(t-\sin t)=2a\pi$のほうは、直線 $t-2\pi$ と $y=\sin t$ の共有点を考えれば、これもグラフからｔ＝２πしかないことが分かりますよ。 どちらの場合も直線がサインカーブの変曲点を通るような接線になります。 グラフも使わずに、代数的な計算で、となると私はよくわかりません。 これで大丈夫ですか？