大小比較

②と③の証明をしたかったのですが、わからなくなりました 教えてください🙏

百花さん、こんにちは。 あなたのノートを見ましたが、まだ方針がはっきりしていないみたい。 （２）やり方を2つ示しますので、できれば両方ともやってみてください。 やり方その1 絶対値が出てきたら定石の「場合分け」をして、それぞれの場合で左辺ー右辺を簡単にすれば＜０が示せます。 うまくいかないときは途中までのノートを見せてください。 やり方その2 絶対値の不等式の定石「2乗して比較する」でもいけますよ。 元の不等式の両辺とも０以上であることがわかっていますから、２乗して大小を比較できます。 左辺²－右辺²を整理すれば＜０が示せます。「よって、元の左辺＜右辺が示せた。終わり。」となります。 これもうまくいかないときはノートを見せてください。 （３）これはひっかけ問題で、それぞれのカッコで相加相乗平均の関係を使うと９が出てこないというやつです。なぜそのやり方ではダメかというと、２カ所の相加相乗平均の関係での等号成立条件が異なるからです。このような問題では、まず展開してしまいますよ。するとabに関して１回だけ相加相乗平均の関係を使って９が得られます。うまくいかないときはノートを見せてください。 これでやってみて。結果報告お待ちしています。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ コメントと３枚目の写真、拝見しました。 それはちょっとおかしいですね。 最近は同値変形を連続して繋いでいくという方法をやるかたもいますが、その場合は 「$-a+2b<a$ …①が成り立てばよい。 そのためには $2b<2a$ が成り立てばよい。 そのためには $b<a$ …②が成り立てばよい。 仮定より最後の②式は成り立っていることが分かる。 よってさかのぼっていって、最初の①式が成り立つことが証明された」 というふうに書かなければなりません。 あなたの書き方では、まだ証明されていない不等式をもとにあたかもそれが成り立っているような感じで変形していますので、証明としては「正しい根拠に基づいた推論」ではないので、たぶん✖でしょう。 不等式の証明の基本は（左辺）ー（右辺）を簡単にしていって正か負の判定ができるところで証明がほぼ終わります。 ですからスタンダードな証明では(i)は 「$-a+2b<a$ …①を証明するために（左辺）ー（右辺）を調べる。 （左辺）ー（右辺）＝$(-a+2b)-a=-2(a-b)$ 仮定より $a>b$ だから $-2(a-b)<0$ である。 よって$(-a+2b)-a<0$ すなわち$-a+2b<a$ が証明された」 というふうになります。 （ちょっと言葉は多めに書きましたが） (ii)も同様です。 これでわかりますか？ ２９の方です。 方針はバッチリです。具体的な数を入れて大小を見極めたうえで、その大小を証明していく、という方法ですね。 ①の $2ab<\dfrac{1}{2}$ の証明は問題ありません。 ②の証明が行き詰まっているのかな？ $(a^2+b^2)-\dfrac{1}{2}$ $=(1-2ab)-\dfrac{1}{2}$ $=\dfrac{1}{2}-2ab$ ここですでに証明された $2ab<\dfrac{1}{2}$ を利用しますよ。 これで②は証明できますね。 ③はどうしましょうか？ちょっと自分でやってみますか？ $a^1+b^1-b=\cdots$ ヒントはa＜ｂとa＋ｂ＝１からｂ＞1/2を導いて、それを使います。 これでわかりますか？