画像の問題7（1）について

解答の画像も載せましたが、なぜ（n-1）∫(n→n+1 )1/n-1dx=1<lognになるのでしょうか。 このような不等式がなぜ思いつくのかいまいちよく分からないです。また、nは3以上なのでlog3のときは1より小さいように思うのですが、それでもこの不等式が成り立つのでしょうか。 よろしくお願い致します。

hana はな さん、こんばんは。 まず、この対数の底はe＝2.7…＜３ですから、 $\log e <\log 3$ すなわち $1<\log 3$ となりますよ。１０を底とする常用対数と混同してましたかな？ さて、これは模範解答ではなく、ほぼ「略解」ですね。 ちゃんとした解答を書いてみますね。 （証明） 与不等式は $n\log n>(n-1)\log (n+1)$ と同値。この不等式の右辺から左辺を引くと $(n-1)\log (n+1)-n\log n$ $=(n-1)\log (n+1)-(n-1)\log n-\log n$ $=(n-1)(\log (n+1)-\log n)-\log n$ $=(n-1)\int_n^{n+1} \dfrac{1}{x} dx-\log n$…(A) ここでｎ＜ｘ＜ｎ＋１ではｘ＞ｎ－１…①だから、 ①の逆数を取って $\dfrac{1}{x}<\dfrac{1}{n-1}$…② ＜ここのところは非常に技術的（テクニカル）な変形で、なかなか思いつかないかも。 ①のようにｎ－１を持ち出すところは、式全体を見て思いつくのでしょうかね？ そうそう簡単には思いつけないと思います。＞ ②の両辺をｎからｎ＋１まで積分すると $\int_n^{n+1} \dfrac{1}{x} dx<\int_n^{n+1} \dfrac{1}{n-1} dx$ よって(A) $<(n-1)\int_n^{n+1} \dfrac{1}{n-1} dx-\log n $ $=1-\log n$…（B) ｎ≧３のときはｎ＞eより（B)＜０だから成り立つ。 またｎ＝２のとき、(解答の初めの計算）より成り立つ。 以上より、与不等式は成り立つ。 こんな感じです。 これでわかりますか？ 下のコメント欄になにか返事を書いてください。よろしく。