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関数Fが正になるようなyの値
閲覧ありがとうございます。
問題文、私の回答、正答は別添画像をご参照ください。なお(1)(2)と問題はありますが、今回(1)のみ解いています。
私はこの問題を関数Fをyの関数に整理して、そうするとF=y^2+(-4x^2+3)y+x^4になり、y^2とx^4はどんな値を代入しても偶数乗なので常に正になるので、yの係数(-4x^2+3)で判別しようとしました。しかし正答では関数Fをもう一段階変形してF={y-(4x^2-3)/2}^2+x^4-{(4x^2-3)/2}^2として、x^4-{(4x^2-3)/2}^2を使って判別していました。以下が質問です。
1.関数Fが正になるための判別をするにあたって、なぜ(-4x^2+3)で判定してはいけないのでしょうか。正答のやり方で判別ができるのはわかるのですが、逆に私のやり方ではうまくいかないのがなぜなのかがまだ分かりません。前述したようにy^2とX^4は常に正なので無視できるのではないのでしょうか？
2.こちらは当たり前であったら恐縮なのですが、全てのyに対してと問題文で与えられた場合、回答においてそのyを場合分けして回答にするというのは回答にならないのでしょうか。一応今回yの全てのパターンを記述したので、全てのyに対して範囲を示していると思ったのですが。基本的なことで申し訳ありませんがお教えいただけると幸いです。
回答
画像内に解説記載してみてます
参考にしてみてください
月川 剛志 様 大変ご親切でご丁寧な解説をいただきありがとうございます。 私の方針について、私もこの質問を投稿してから、「もしかしたらこのやり方だと漏れがあったのかな」と思いましたが、具体的になぜ不十分であるのかが自分ではわからず仕舞いでした。 今回月川様に私の方針を踏まえて解説いただいたので、きちんとグラフの形と位置を把握して判別をしないと不十分な結果になることが大変よく分かりました。 重ね重ね親切でご丁寧な解説をありがとうございました。もしまた質問を投稿することなどございましたら、何卒よろしくお願いいたします。
しっかりと復習を行なって、次同じような問題が出た時にしっかりと回答できるようにしておきましょう！引き続き頑張ってください！
A S さん、こんにちは。はじめてのかたですね。よろしく。
ｙについての2次式だと見られたら、内容は次のような2次関数の基本問題と同じなのですよ。
「$y=x^2-(4a^2+3)x+a^4$ が、すべてのｘについてｙ≧０となるようなaの値の範囲を求めよ。」…①
（質問の問題では上のⅹ、y、aがｙ、F、ｘとして現れてます）
この手の問題なら教科書にもあったと思います。
グラフが常にｘ軸より上になるか、ぎりぎり接するときならいいということですから、
「判別式≦０なら題意を満たす」とすればいいので、ｘについてｘ＝０のときとかやらないですよね。場合分けは不要です。
上に書いた①の問題と同じことを聞かれているのだ、ということをつかむことが大事です。
「すべてのｙに対して」ですから、私は場合分けは誤った考えだと思います。
これでわかりますか？
ここでは会話型を目指しています。
これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、下のコメント欄になにか返事を書いてください。
返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメントよろしく。
なお、上の月川 剛志さんへの返事は、月川 剛志さんの回答の下のコメント欄に書いてくださいね。
くさぼうぼう 様 お察しの通り初めて利用させていただいております。よろしくお願いいたします。 やはり問われていること自体はシンプルだったのですね。基本問題であったのにお手を煩わせるような質問をしてしまい申し訳ありませんでした。学校を出て久しく数学に触れておらず基本をほとんど忘れてしまっていました。やっぱり基本からもう一度学び直さないとですね。 「すべてのyについて」という表現についても、やはり今思えば「すべてのyに一様に成り立つ」ということだと思うので、そこでyを場合分けしてしまうと条件に反してしまいますねw。 改めて基本にもう一度目を向けながら、今後もポツポツと数学を続けていければと思います。 ご親切でご丁寧な解説ありがとうございました。
どういたしまして。再学習ですね！がんばって下さい😊