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冪の結果(環論)
$R$を和$+$と積$・$を演算として持つ環とします。和についての単位元を$e_+$と書きます。
$a+a=e_+$
を満たすような$a\in R$は$e_+$のみでしょうか？
$a=e_+$ならば$a+a=e_+$
は単位元の定義から明らかですけど、その逆
$a+a=e_+$ならば$a=e_+$
はどうなのかっていうのがわかりません。
(細かいことですが、式中の“+“が脱字していたため修正しました。)
回答
それは成り立たないと思います。
例えば、$\{e_+, e_*\}$という集合に、以下のような演算を入れると環になりませんか？
$$
\def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
+ & e_+ & e_* & & \cdot & e_+ & e_* \\ \hline
e_+ & e_+ & e_* & & e_+ & e_+ & e_+ \\ \hline
e_* & e_* & e_+ & & e_* & e_+ & e_*
\end{array}
$$
見づらいので$\{0, 1\}$で書いてみるとわかりやすいですね。
$$
\def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
+ & 0 & 1 & & \cdot & 0 & 1 \\ \hline
0 & 0 & 1 & & 0 & 0 & 0 \\ \hline
1 & 1 & 0 & & 1 & 0 & 1
\end{array}
$$
たしかにそうですね！回答ありがとうございます！ 次いで質問なのですが、読んでいる本の ∀a∈R;e*・a=e* の証明で “a∈Rなら, e*・a=(e*+e*)・a= e*・a+e*・a なので, e*・a = e*.” ということが書かれているのですが、これはどうやって導かれているのでしょうか。 「なので」から出てくるのがわかりません。 もしよければこちらも回答お願いします。
すみません$e_*$ではなく$e_+$でした ”$a\in R$なら$e_+・a=(e_+ + e_+)・a= e_+・a+ e_+・a $なので, $e_+・a=e_+$である“ の「なので」から出てくる理由がわからないです
別の質問を立てた方がよいかもです。