2024京大

Nまでは出たのですが、そのNが条件を満たすのかどうかという確認をしている下から6行目以降がよくわかりません。教えていただきたいです！

まかろん さん、こんにちは。 前半ではまだNは分かっていません。桁数ｎの最大値が１０であることが導けました。 このとき解説の4行目の $10^9<N<8^{10}$ を満たすNの中に最大値があるはずです。 （でもまぁ、これを満たせば桁数は１０だということはわかっていますから…） で、見当をつけて $8^{10}$ より１つだけ小さい数について、適するかどうかを調べています。 ここは数学的センスになるかもしれません。 目標は $8^{10}-1$ が解説の2行目の3つの不等式を満たしていることを示そうとしています。 $8^9<8^{10}-1<8^{10}$ はいいですね。 次に１０についてやっています。 $2^{10}=1024>1000=10^3$ より $\left(2^{10}\right)^3>10^3$ だから $8^{10}-1=\left(2^{10}\right)^3>\left(10^3\right)^3=10^9-1$ なので $10^9<8^{10}-1<10^{10}$ は言えました。($8^{10}<9^{10}$ は明らか) さらに $10^9>9^9$ なので $9^9<8^{10}-1<9^{10}$　（$8^{10}<9^{10}$ も明らか） これでN=$8^{10}-1$ が解説の2行目の3つの不等式を満たしていることがいえましたのでこのNは題意を満たします。これより大きいNは4行目の条件から外れてしまいます。よってこれが最大値だとわかります。 これで大丈夫ですか？コメント欄になにか返事を書いてください。