数学的帰納法

①全ての整数について証明したいのですが、合ってますか？？ ②波線部分の証明がどうして良いのかわかりませんでした。 本文の記述と右の四角で囲んだ説明はどっちの方がいいですか？ （そもそも証明の仕方を間違えてたらその点についても教えください🙇‍♀️）

百花さん、こんにちは。回答が遅くなってゴメンナサイ。 初めの方の問題です。流れや考え方はもうバッチリです！ 多少、書き方の上で改良すべきところがあります。 （I)は問題なし。 （II)では、ｋについてちゃんと書いた方がいいです。模範解答などでは書いていると思いますが、何の説明もなしに文字を持ち出すのはよくないです（細かいことですが）。「ｋを１以上の自然数としたとき、ｎ＝ｋでマルAが成り立っていると仮定する。すなわち…＝６ｌ（ｌは整数）」みたいに書きます。絶対ではないですが。 次の（III)を分けるのはよくないです。数学的帰納法ではあなたが（III)とした部分は（II)から続く重要な部分です。分けてはいけません。で、①の式まではOK。あ、①の最後の項は６ｋ²ですよね。そのあと「（II)より①は６の倍数」というのはちょっと雑です。①の式から続けて 「$=6ｌ+6k^2=6(l+k^2)$ よって６の倍数であるから、ｎ＝ｋ＋１のときも成り立つ」がいいです。「（I)(II)よりｎがすべての自然数の時成り立つ」はそれでいいですね。 このあとですが、まずｎ＝０をやりました。これが帰納法の（I)’ですね。つづいてこれをもとに負の整数に話を広げますが、この時も「ｋを０以上の整数として、ｎ＝－ｋのとき成り立つと仮定する」です。ｋに０を含めておかないとｎ＝０の場合から繋がりません。わかりますか？これで（I)’とつながりますよ。「ｎ＝ー(ｋ＋１)のとき…」の方がいいです。ま、それでも大丈夫ですが。 終わり方も「$=6m+6(\cdots )=6(\cdots )$ よって６の倍数だから、ｎ＝ー(ｋ＋１)のときも成り立つ。」とすべきです。 で、まず（I)'と(II)'で「よってｎが０以下のすべての整数でマルAは成り立つ。という結論を書いて、さらに「以上より全ての整数で…」となって終わりますよ。細かいことをいうようですが、論理の流れを厳密に書く方がいいのです。わかりますか？ 次の不等式の問題。 （I)等号が入った不等式の問題ですから＝が成り立つときも元の不等式が成り立っていると言えますので、問題ないですよ。 （II)「ｋを１以上の自然数としたとき、…」ですね。 あとの流れは大丈夫です。 やり方は右でも左でもそう大差はないようです。あ、最後の３行はいいですね！ これで大丈夫ですか？ ひょっとして受験真っただ中でしょうか？ がんばってくださいね。