極形式

青ペンの部分の変形はどのようにして思いつきますか？

$x^3+2=0$ $x^3=-2$ $\frac{x^3}{2}=-1$ $-\frac{x^3}{2}=1$ $\left(-\frac{x}{\sqrt[3]{2}}\right)^3=1$ 以上が一行目です。 そして、$A^3=1$の実数解は$A=1$で、虚数解は$A=\frac{1±\sqrt{3}}{2}$なんです。 今回Aの部分が$\left(-\frac{x}{\sqrt[3]{2}}\right)^3$なんですね。ただ、Aの部分がマイナスなので、$A=\frac{1±\sqrt{3}}{2}$にマイナスがついて$A=\frac{-1±\sqrt{3}}{2}$となっています。 即ち、$\left(-\frac{x}{\sqrt[3]{2}}\right)=\frac{-1±\sqrt{3}}{2}$ これを$x$について整理する。 分からなかったらコメントしてください。

Keitaさんの回答で一部間違いがあります。 虚数解は $A=\dfrac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}$ です。先頭のマイナスと虚数単位iが抜けてます。 $\left(-\dfrac{x}{\sqrt[3]{2}}\right)^3=1$ より $A=-\dfrac{x}{\sqrt[3]{2}}=\dfrac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}$ よって $x=-\sqrt[3]{2}\cdot \dfrac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}$ $=\sqrt[3]{2}\cdot \dfrac{1\mp \sqrt{3}i}{2}$ $=\sqrt[3]{2}\cdot \dfrac{1\pm \sqrt{3}i}{2}$ $=\sqrt[3]{2} \left( \dfrac{1\pm \sqrt{3}i}{2}\right)$ となりました。マイナスプラスが１カ所しかないので、それはプラスマイナスにすることができますよ。 これで大丈夫ですか？