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極限値の問題
問２⑴⑵の解答例を教えていただきたいです。
回答
問2(1)$$\lim_{x\to \infty}\sin x$$この極限値は存在しません.
仮に$\lim \sin x$が存在したとしてそれを$S$と置いてみます.$\sin x$というのは$-1から1$までの値を自由に取ります(中間値の定理)から$S\neq S'$となるような$S'$をも取ります.さらに正弦関数は周期関数であったためどれだけ大きな正数$R$をもってしても $$S=\sin \theta,S'=\sin \theta '(\theta ,\theta '>R)$$となるような$\theta ,\theta '$が存在します(アルキメデスの原理).したがって$\varepsilon-\delta$論法における$\varepsilon$を$\varepsilon<|S-S'|$として置いたとき収束の定義に抵触します.よって背理法から極限値が存在しないことが言えます.
