極大値と極小値を持つことの証明がどこでできるのか？

この問題の（１）では、増減票を書いてf'(x)=0 を満たすｘが２つあり、その前後で符号が変わっている、ということで証明できているのでしょうか？？ 最近質問が多くてすみません。。。

まかろんさん、こんばんは。 「質問が多くてすみません」なんてことは不要ですよ！ ここは質問をする場所なのですから、必要な時に必要なだけ胸を張って（？！）利用してください！ 増減表は極値が存在することの重要な証拠です。増減表が正しく書けていれば、そこから極値の存在は示せたことになります。 増加から減少に転ずるところが極大、減少から増加に転ずるところが極小と定義されていますから。あ、その点で連続であることが必要です。その点の微分係数は０でなく存在しなくても大丈夫です。たとえばグラフがとがっているような場合も極値と言います。 たとえば $f(x)=\sqrt{|x|}$ はｘ＝０で微分係数f'(0)は存在しませんが、減少から増加に転じますので、ｘ＝０で極小値０をとると言います。 ただ、その答案（模範解答でしょうか？）の増減表についてはちょっと疑問が残ります。 $-t+\sqrt{t^2+1}$ と $\dfrac{1}{t}$ の大小について論じていないのが気になります。 また、f'(x)の分子が０ではないことを述べていますが、これは何が言いたいのかなぁ。 f'(x)はそこでは存在しないし、たとえ0/0になってf'(x)の極限値が存在してもf(x)自体が存在しないので極値にはなりえないけどなぁ。 これで大丈夫ですか？下のコメント欄になにか返事を書いてください。