正三角形の内接する円

今回の問題では正三角形だったので、次のように考えました。 まず一辺が 4a の正三角形なので、三平方の定理より高さを求めると h² + (2a)² = (4a)² h² + 4a² = 16a² h² = 12a² h = 2√3a となります。 正三角形では「重心＝内心」であり、重心は高さを 2：1 に分けるので、 内心から辺までの距離（内接円の半径）は r = h/3 となると考えました。 したがって r = (2√3a)/3　R=(2√3a)/3 となり、大きい円の面積は πr² = π(2√3a/3)² = 4/3 πa² となります。 また、図より △ADE と △ABC が相似で、相似比が 1：3 なので、 内接円の半径比も 1：3、面積比は 1：9 になると考えました。 したがって小さい円の面積は (4/3 πa²) × 1/9 = 4/27 πa² よって求める面積は 4/3 πa² + 4/27 πa² = 40/27 πa² と考えました。 そこで疑問があります。 ① 「重心が中線を 2：1 に分ける」という性質は、正三角形に限らず、すべての三角形で成り立つという理解で正しいでしょうか。 ② 今回のように r = h/3 とできるのは、正三角形では「重心＝内心」になるためであり、一般の三角形ではこの方法は使えないという理解で合っていますか。 ③ 三角形が正三角形でない場合、内接円の半径は r = 面積 ÷ 半周（ r = S / ((a+b+c)/2) ） などの公式で求めるのが基本になるのでしょうか。 理解の仕方が合っているか教えていただけると助かります。 ④この添付の資料の問題では、AF：AI＝３：１であるとどこを見て判断できますか？ また、正三角形では、大きい面積に1/9を掛けていますが、正三角形ではない場合、大きい三角形にどんな数字を掛けるのでしょうか？ 例えば、正三角形ではない場合、 その場合は例えば、１：７と相似比が問題文に記載されている ↓ 内接円の公式で半径を求める ↓ その半径で、大きい円の面積を求める ↓ 大きい円に1/49を掛けて小さい円の面積を求めるということでしょうか？

啓斗さん、 ①の前までの求め方は完璧です！ ①その通りです。重心の定理：どんな三角形についても「重心は中線を２：１に内分する」 ②合っています。 ③a、ｂ、ｃが分かっていれば、の話ですね。一般的には三角比を使うことが多いです。 ④Fは？中点？「例えば」以降は正しいです。 コメント欄になにか返事を書いてください。 なお、そろそろ閉店時間なので、次の対応は明日になりますが了解してください。