ベクトル2

iiiのところで突然円周角の定理出てきたように感じていて、あまり理解できません。 垂直なとき直径に対する円周角になっていることはわかるのですが、 OP垂直APという条件だけで、軌跡が円になるとわかるものなのでしょうか？ また、軌跡だと座標を文字で置いて求めるのかなと思ったのですが、その必要がないのはどうしてでしょうか？ 自分でもやろうとしたのですが迷走しました💦

百花さん、こんばんは。 「軌跡だと座標を文字で置いて求める」必要はぜんぜんないです。できれば式でなく求められる方が楽でいいです。 この問題では与えられた条件から $\overrightarrow{OP}・\overrightarrow{AP}=0$ ですので、 $\overrightarrow{OP}⊥\overrightarrow{AP}$ であることはわかりますので、ここは半円に対する円周角を使うべき問題ですよ！ 直角と半円の円周角は頭の中で結び付けておくべきことがらです。 このことがらは高校入試の作図題でも使うことで、「２点A,Bと直線ｌが与えられている時、ｌ上の点PでAP⊥BPを満たすようなPを作図で求めよ」とかで使います。「あ、AP⊥BPならABを直径とする円上にあるはずだから…」というふうに。 どうしても文字を使ってやるとしたら、P(x,y)、A(a,0)としても一般性を失わず、$\overrightarrow{OP}=(x,y),\overrightarrow{AP}=(x-a,y)$ と成分表示しておいて、内積 $\overrightarrow{OP}・\overrightarrow{AP}=0$ を成分で式化して整理すれば円の方程式になりますよ。やってみて。 これで大丈夫ですか？