漸近線の本質理解のために

$x→∞$で関数$y=f(x)$の漸近線$y=ax+b$を求める公式として $\begin{cases}lim_{x\to \infty}\dfrac{ f(x) }{x}=a \\lim_{x\to \infty}\{f(x)-ax\}=b\end{cases}$　…(＊) がありますが、なぜこれで求められるのかと思いました。 ネットで検索するに(＊)が出てきた理由については何となく理解しました。 （以下理解した内容） まず、 　　　$\lim_{x\to \infty}\{f(x)-(ax+b)\}=0$　…① は、$x→∞$で、$y=ax+b$が$y=f(x)$の漸近線であることを意味する。 だから、①が成り立てば漸近線が求まる。 　①が成り立つ(①の左辺が存在する)ためには, 　　$\lim_{x\to \infty}\dfrac{ f(x)-(ax+b) }{x}=\lim_{x\to \infty}\{\dfrac{ f(x) }{x}-a-\dfrac{b}{x}\} =0$ 　となること,すなわち 　　$lim_{x\to \infty}\dfrac{ f(x) }{x}=a$　…② 　が必要　($\because\lim_{x\to \infty}\dfrac{b}{x}=0$） 　さらに,②の下で①が成り立つためには 　　　$\lim_{x\to \infty}\{f(x)-ax-b\}=0$ 　　$\therefore\lim_{x\to \infty}\{f(x)-ax\}=b$　…③ 　が必要 だから漸近線は②かつ③,すなわち(＊)で求まる。 （ここまで理解内容） しかし、②かつ③はあくまで必要条件であり、①の成立を示すには 十分条件であることをいわねばならないと思いました。 そのためには②かつ③の下で①が成り立つことを示せばよいのですが、 どのように示すかが皆目見当もつきません。 似たような問題(https://examist.jp/mathematics/limit/bunsuusiki-hituyoujyouken/)では、 必要条件の数値を代入することで十分性を確認していますが、 今回の場合、limがついている②や③を①に代入できそうになく手詰まりです。 そこで質問させていただきました。 ・②かつ③の下で①が成り立つことの証明(所謂十分性) 及び ・自分の理解の誤り(特に、②の下で～③が必要、の部分は少し自信がないです) 等々ご教授願います。 長くなりましたが、どうぞ宜しくお願いいたします。 ※参考にしたサイト https://www.youtube.com/watch?v=6hSJVy5yZUg https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/80/80-6.pdf (↑$3に記載あり) https://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou3/zenkin1.htm ※当方東大理系志望の新高3です。 　少々難しくても頑張って理解に努めます。