文系数学の問題

だいぶ前に質問させていただいたことがある者です。 今は教員をやっておりますが、生徒から質問された下記のお写真の問題の解き方が間違っているのですが、なぜ間違っているのかが説明できません。 教えていただけないでしょうか。 ちなみに正しい答えはx=11/4, y=1/4 最大値 49/8 です。

yano yano さん、こんばんは。 本当にお久しぶりです。 え？教員をやってる？ 2023年には高校生ではなかった？ 違うのかな？ ま、そんなことはいいとして、それはちょっと悩ましい誤解答ですね。 どこがいけないかというと、ｘ＝ｋと固定した時にｘ＋ｙ≦３の範囲でｙ＝ $\dfrac{k}{2}$ になれるかどうかが議論されていません。ｘ＝ｋのときｙは０≦ｙ≦３－ｋですが、この範囲に $\dfrac{k}{2}$ が入っていれば生徒さんの議論は正しいです。でも入っているのは$0\leqq\dfrac{k}{2}\leqq 3-k$ すなわち $0\leqq k\leqq 2$ に限られます。 つまり、０≦ｘ≦２の範囲ではその議論は正しいですが、２＜ⅹ≦３の範囲ではその議論は成り立ちません。$2<k\leqq 3$ の範囲では$x=k,y=\dfrac{k}{2}$ は $x+y\leqq 3$を満たさなくなります。２＜ｋ≦３の範囲では別に議論しなければなりません。 その範囲ではｙ＝３－ｋのときｚは最大になります。ｚにｋと３－ｋを代入してｋの２次関数を作り、ｋ＞２の範囲での最大値を求め、それと０≦ｋ≦２でも最大値５と比較してどっちが本当の最大値かを調べます。これでｋ＝$\dfrac{11}{4}$ のとき最大値 $\dfrac{49}{8}$ が得られますよ。 生徒さんへの説明はこれで何とかなりますかねぇ。 これで大丈夫ですか？以前のように、下のコメント欄になにか返事を書いてください。よろしく。 もしできれば、模範解答を見せていただけませんか？どうやって解いているのか興味があります。