線分の長さの最大最小

P（cosθ,sinθ）とおくとPA＝2sin θ/2 PB＝2sin(θ/2-π/3) PC＝2sin(2π/3-θ/2)となるらしいですがなぜですか？答えは最大が4最小が2√3です。

_a さん、こんにちは。お久しぶりですね！ じゃ、A(1,0)、B(-1/2,√3/2)、C(-1/2,-√3/2) というふうに正三角形を置いたところから始めますね。 点Pの角度θが０から2/3πのとき、2/3πから4/3πのとき、4/3πから２πのときで、PA,PB,PCの長さを表す式が異なるので、場合分け…と考えると大変です。点Pの角度θが2/3πから4/3πのときは図形全体を時計回りに１２０°回転させて3点の名前を付け替えれば角度θが０から2/3πのときと同じになるし、同様に点Pの角度θが4/3πから２πのときも２４０°回転させれば同じになりますので、結論「０≦θ≦2/3πの範囲だけ考えればいい」。 よって、以後は０≦θ≦2/3πの範囲で考えます。つまりPが弧AB上にあるときです。 PAの中点をMとするとPA=２AMで、∠AMO=９０°、∠AOM=θ/2ですからAM=sinθ/2！ よってPA=２AM＝２sinθ/2　と表せます。ここまでは大丈夫ですか？ 同様に、PBの中点をNとすればPB=２PN。∠PNO＝９０°なので、PN=２sin∠PONですね。 あとは∠PONをθで表わしましょう。 ∠BOP=2/3π－θですから∠PON＝$\dfrac{∠BOP}{2}=\dfrac{\frac{2}{3}\pi-\theta}{2}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\theta}{2}$ と表せます！ よってPB=２sin∠PON＝2$\sin\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\theta}{2}\right)$ 。 これがあなたの質問文とは違います。 最後はPCの中点をJとすると、PC=2PJ。θがπ/3より小さい状態の図では∠POC=∠AOC+θ＝2/3π＋θ。よって∠POJ=$\dfrac{∠POC}{2}=\dfrac{\frac{2}{3}\pi+\theta}{2}=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\theta}{2}$ と表せました。よってPC=2$\sin\left(\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\theta}{2}\right)$ です。 これもあなたの質問文とは違ってますが、三角比の公式 $\sin \alpha =\sin (\pi -\alpha)$ を使えば、あなたの質問文のと同じになりますよ。 一般に三角比で表わす表わし方は何通りもあることが多く、数学的に正しければ形が異なっていても問題ないです。（解答を書いた人はθがπ/3から2/3πの間の図で考えたのでしょう。それだと最初からあなたの質問文と同じになります） PBについてはあなたの質問文にあるような式にはなりませんので間違いだと思います。 以上より $PA+PB+PC=2\sin \dfrac{\theta}{2}+2\sin\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\theta}{2}\right)+2\sin\left(\dfrac{2}{3}\pi-\dfrac{\theta}{2}\right)$ となります。PCは $2\sin\left(\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\theta}{2}\right)$ でも大丈夫です。ただしθは $0\leqq \theta \leqq \dfrac{2}{3}\pi$ の範囲です。 さて、あなたの質問が「…となるらしいですがなぜですか？」でしたので、ここまでで止めます。ここまでは大丈夫ですか？わからないところは下のコメント欄にかいて質問してください。 このあとは三角比の変形の問題になりますので、まだやってみていないのならちょっとがんばってみてください。やってみてうまくいかないときは、下のコメント欄になにか返事を書いてください。そのときはうまくいかなかったあなたのノートもアップしてくださいね。間違いを見つけますから。 ここでは会話型を目指しています。コメントお待ちしています。 追記：＝＝＝＝＝＝＝＝＝ どうやらあなたが質問文に書いた解答を考えた人はPが弧BC上にある場合で考えたみたいです。それだとPBはその式になりそうです。θの変域が私のとは異なります。最大最小を考える時にθの変域に気を付けて解いてください。上に書いたように、三角比での表現はいろいろ可能です。