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整数の組

    朝倉 啓斗 (id: 4533) （2026年7月4日0:29）
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    問題113番の「3X＋5Y=45を満たす正の整数X,Yの組は何組あるか」について質問です。 「『3X＋5Y＝45』で、教科書では『5×9＝45より、Yは9より小さい（8以下）』としていますが、『9×5＝45より、Yは4以下』と考えてはいけないのはなぜですか？」 もう少し簡潔にするなら、 「『5×9＝45』からYは8以下と考えるのは分かりますが、『9×5＝45』からYは4以下と考えてはいけない理由を教えてください。」 また、問題112番では、 「3X＋5Y＝11のような問題では、Yを調べるときは『2×5＝10』と考えますが、『5×2＝10』と考えてはいけないのでしょうか。また、右辺の数を掛け算で表すときは、Yの係数（5）を先にして考える理由を教えてください。」
    （追記: 2026年7月9日16:02）
    問題113番の「3X＋5Y=45を満たす正の整数X,Yの組は何組あるか」という問題と、追加で追加した資料の問題は別問題ですか？ 「次の方程式の整数解をすべて求めよ」という問題についてです。

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    回答

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2026年7月4日10:36）
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    朝倉 啓斗 さん、こんにちは。 １１３：「まずｙの最大値を出し…」ですので、ｙの項５ｙについて調べていますよ。係数５は一定で、ｙの部分が変化するのですね。 ４５を超えないｙを求めてｙの範囲を狭めようとしています。 ５×９は５ｙに「係数５にｙ＝９を代入」したという意味です。ｙ＝９でちょうど45になってしまう（このときｘは０で不適）ので、ｙは８以下だと分かりました。 そのへんの「何をやっているのか」の意味がお分かりになっていないのかな？ ５ｙの係数は５ですから９×５でも「５は係数、９がｙ」ですよ！５はｙの値ではありません。ですからここから「ｙは４以下」とする理由はありません。ｙと５は別物です！ これでわかりますか？ １１２：ｙの範囲を定めようとするのなら２ｙについて調べます。２が係数です。ｙを変化させ、ｙ＝５のときの２ｙ＝２×５＝１０がｙの最大値と分かるのですね。５×２だっていいといえばいいですが、そのときも２の方が係数、５のほうがｙということを忘れてはいけません。 これで大丈夫ですか？ １１２に関しては、ｘの係数の方が大きいのでｘの範囲の方が狭いですから、ｘの最大値から調べた方がそのあとの手間は減ります。 本来この手の整数問題は高校で学習し、別なやり方（当てはまるものを１個見つけてしまい、それをもとに全部を得る）で解けるのですが、できればそれも調べて勉強しておくといいと思います。
    朝倉 啓斗 (id: 4533) （2026年7月5日19:49）
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    ありがとうございます。つまり、5×９や5×２という風に大きい数字を使うということですか？

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2026年7月5日21:33）
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    「という風に大きい数字を使う」の意味がちょっと分かりかねるのですが。 掛け算は順序は変更しても結果は同じなのでどちらを先にしてもいいのですが、意識としてどちらが係数でどちらが変数の値かをしっかりつかんでおけばいいのです。式と同じに係数を初めに書くなら１１３では５×９、１１２では２×５ですね。

    朝倉 啓斗 (id: 4533) （2026年7月7日0:10）
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    ありがとうございます。理解できました。

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2026年7月7日9:02）
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    それならよかったです。

    朝倉 啓斗 (id: 4533) （2026年7月9日16:02）
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    問題113番の「3X＋5Y=45を満たす正の整数X,Yの組は何組あるか」という問題と、追加で追加した資料の問題は別問題ですか？ 「次の方程式の整数解をすべて求めよ」という問題についてです。

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2026年7月9日18:11）
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    はい、違う問題です。前のはｘ、ｙではなく「条件を満たす数」を求めその個数を答えたりする問題ですが、１１２は方程式を満たす「ｘ、ｙの組」のほうを求めます。でも取り組む方向は同じです。 （１）はちょっと違うやり方ですが、これもｘ＝０、ｙ＝０という解を一つ見つけますし、（２）ではｘ＝２、ｙ＝－１という解を一つみつけます。これをもとに整数ｋを使って、無限個ある解を一般的に答えます。 変数がｘ、ｙの2個あり、方程式が1つの時は特に制限がない限り解の組は無限にあります。 これで大丈夫ですか？

    朝倉 啓斗 (id: 4533) （2026年7月10日19:20）
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    問題のどこを見て区別して解きますか？

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2026年7月10日20:41）
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    ごめんなさい、16:02のは「１１３番と追加の問題は同じか」ということでしたね。（初めの問題と追加の問題のように勘違いしてました。） 113番と追加の問題は本質的には同じです。追加の問題（１０２）はｘ、ｙは整数というだけで大きさの制限がないので一般的な式（ここでは整数ｋを含んだ式）が答になります。113番ではｘ、ｙに正の整数という制限が付くので、一般的な式でのｘ、ｙが得られた後に（ここまでは同じです）その式に≧０を付けてｋの範囲を調べます。

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2026年7月10日20:48）
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    あ、≧ではなく＞です！

    朝倉 啓斗 (id: 4533) （2026年7月11日20:18）
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    回答ありがとうございます。 理解しました！

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2026年7月11日21:08）
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    👏👏👏

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