線形代数の問題です

高3女子デス。線形代数がわかりません。 基底に関して線形変換したとき標準基底に基底を変更するとどうなるかということがわかりません。 問題を添付します。初めての投稿なので質問が重複するかもしれませんお許しください。

seal 916 さん、こんばんは。はじめてのかたですね。よろしく。 私は大学数学はちょっと…なのですが、昔を思い出して考えました。 題意をちゃんと理解したかどうかも心配ですのでご参考まで。 題意は「$\overrightarrow{p_1},\overrightarrow{p_2}$ を基底とした表現でのその行列（Mとしておきますね）によるベクトルの変換を　$\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$ を基底とした表現で表わす変換行列を求めよ」ということかな。 そこで、$\overrightarrow{p_1},\overrightarrow{p_2}$ を基底とした表現での任意の２つのベクトルが変換行列Mによってどう変わるかをまず調べてみます。 どんな２つでもいいのですが、簡単な$\overrightarrow{p_1},\overrightarrow{p_2}$ 自体を動かしてみます。 $\overrightarrow{p_1},\overrightarrow{p_2}$ を基底とした表現では $p_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , p_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $ だから $p_1$ は$p'_1=M\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$に、 $p_2$ は$p'_2=M\begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1\\ 0 \end{pmatrix}$に変換されます。 $p'_1$ を$\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$ を基底とした世界で表現すると $p'_1=2p_1+3p_2=\begin{pmatrix} 9 \\ -1 \end{pmatrix}$, $p'_2=(-1)p_1+0p_2=\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix}$ となるので、$\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$ を基底とした表現で言うと $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ が $\begin{pmatrix} 9 \\ -1 \end{pmatrix}$ に、 $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ が $\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix}$ に変換されたと書けます。 この変換を表す行列（Aとします）が答。あとはできますか？ $A\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 9 & -3 \\ -1 & -1\end{pmatrix}$ ここから$\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ の逆行列を使ってAを求めます。 これでどうでしょうか？もし見当違いの回答だったらお許しください。 高3女子デス？？ 高校でここまでやるの？ 大１男子だったりして…。 あ、本当に高3女子ならゴメンナサイ！ これで大丈夫ですか？ ここでは会話型を目指しています。 これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、答があわないとか、下のコメント欄になにか返事を書いてください。返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いた物が役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメントよろしく！ 他の方からの回答もあるかもしれません。お待ちください。