集合と写像について。

画像(5)証明が全く分かりません。どなたか教えて下さい。

ういす ういす さん、こんばんは。お久しぶりですね！１年ぶりくらいですね。 返事が遅くなってスミマセン。 あなたが集合のことをどこまで勉強したのか、どこまで理解したのかが分からないので、あるいは見当かずれになるかもしれません。 部分集合⊂の定義は大丈夫ですか？ A⊂Bの定義は「Aのすべての要素はBの要素にもなっている」ですが、それを示すには「Aの任意の要素がBの要素になっている」ことを示せばいいです。この問題では「集合 $A_1$ のすべての要素が集合 $f^{-1}(f(A_1))$ の要素になっている」ことを示せばいいのですが、「すべて」ではなく「任意の」にして「集合 $A_1$ の任意の要素が集合 $f^{-1}(f(A_1))$ の要素になっている」ことを示せばいいのですね。 集合 $A_1$ の任意の要素を $a$ としました。これが「a∊ $A_1$ ならば」というところです。 で、aは写像ｆによって$f(a)$ に対応します. ところで集合 $A_1$ のｆによる像（値域）は $f(A_1)$ （このように書きます）ですから aに対応する$f(a)$ はもちろん $f(A_1)$ の中にあります。 これが 「 $f(a)\in f(A_1)$ 」というところです。 ここで集合 $f^{-1}(X)$ という記号は「写像ｆによって集合Xの要素に対応するような定義域（元像）」という意味ですから、 集合 $f^{-1}(f(A_1)$ とは「写像ｆによって集合$f(A_1)$ の要素に対応するような定義域（元の要素の集合）」です。 で、$f(a)$ は $f(A_1)$ の要素なのですから、$f^{-1}$ によって$f(a)$ に対応するaは当然 $f^{-1}(f(A_1)$ にはいっているはず。 これで任意のaについて $a\in f^{-1}(f(A_1)$ が分かったのでA1は部分集合だということも示せたというわけです。 逆に言いますと、集合 $f^{-1}(f(A_1)$ の要素とは、写像ｆによって $A_1$ の要素となるような要素の集合です。 aは写像ｆによって集合 $f(A_1)$ に写ります。集合 $f(A_1)$ に写ってきたんだから元のaは集合 $f(A_1)$ の元像である $f^{-1}(f(A_1)$ にはいっているのは当然のことなのです。 言葉ではかえって分かりにくいかも。とにかく記号の意味をしっかり理解する必要があります。集合論はほとんど記号の世界で進んでいきますから。ある記号の意味は日本語を介さなくても意味が分かるまで読みこんでくださいね。 これで大丈夫ですか？下のコメント欄になにか返事を書いてください。よろしく！