両面の紙を使った整数の和の表現について

両面の紙を使った整数の和の表現について 次のような問題を考えています。 問題のルール 両面に数字を書ける紙を複数枚用意します。 - 1つの面には正の整数を1つ書くことができます。 - 同じ整数を複数の面に書くことはできません。 - 1回の計算では、1枚の紙から表か裏のどちらか一方しか使用できません。 - 異なる紙からは何枚でも選び、それぞれの数字を足すことができます。 この条件で、1からNまでのすべての整数を表現するために必要な紙の最小枚数をP(N)とします。 P(N)を求める一般式は何でしょうか？ 自分で計算した結果 小さい値について調べると、次のようになりました。 N| P(N) 1～2| 1 3～8| 2 9～26| 3 27～80| 4 考えた方法 片面だけを使用する場合、1、2、4、8、...と2の累乗を配置すれば、二進数によって表現できます。この場合、m枚で最大 (2^m-1) まで表せます。 一方、両面を利用して次のように配置する方法を考えました。 (1, 2), (3, 6), (9, 18), (27, 54), ... 一般に、k枚目の紙には (3^k) と (2\cdot3^k) を書きます（kは0から始めます）。 各紙からは、何も選ばない、表を選ぶ、裏を選ぶ、という3通りの選択ができます。 これは3進数の各桁に対応するため、m枚で0から (3^m-1) までの整数をすべて表現できます。 また、m枚の紙から選べる組み合わせは最大 (3^m) 通りです。0からNまでのN+1個の整数を表現するには、 [ N+1\leq3^m ] が必要です。 以上から、次の式になると考えています。 [ \boxed{P(N)=\lceil\log_3(N+1)\rceil} ] 質問 この考え方や一般式は正しいでしょうか？ また、組合せ論や加法的整数論などに、関連する既存の定理や研究はあるでしょうか？ AIに相談しても確信を持てる結論が得られなかったため、皆様のご意見や議論を通じて、より確かな結論にたどり着ければ幸いです。 なお、初期計算および数学的考察にはChatGPT（GPT-6）を利用しました。