極限の問題

$F_n=\int_0^1 \frac{x^n}{n+1} dx$ と定めた時, $\lim_{n\to \infty} F_n$ を求めたいと思ってます. 任意の$n$に対して$F_n=1$ですから, $\lim_{n\to \infty} F_n=1$ と言うことになるのか, 任意の $x\in(0, 1)$ に対して$\lim_{n\to \infty}\frac{x^n}{n+1}=0$ だから, $\lim_{n\to \infty} F_n=0$ なのかわかりません. ご教授ください。

まず任意の$n$に関して$F_n(x)= 1$ なので$F_n(x)\to 1$.これはいいですね。正しいです。 ただ、実は一般に $$\lim_{n\to \infty}\int_{\alpha}^{\beta} f_n(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta} \lim_{n\to \infty} f_n(x) dx$$ ということは成り立ちません。あなたの質問における被積分関数列はその一例だったのです。　積分と極限を交換した時点で、「別のなんらかの関数」を得ていることになるのでそれらが等しいかどうかについては考察をする必要があります。 余談ですが関数列$f_n(x)$が一様収束ならば $$\lim_{n\to \infty}\int_{\alpha}^{\beta} f_n(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta} \lim_{n\to \infty} f_n(x) dx$$ が成り立ちます。なのでその関数列は一様収束でない一例と見ることができますね。