群、環、体の証明ついて

群を証明するときは加法または乗法、環と体を証明するときは加法乗法について閉じていることをまず証明しますが、それ以降の交換法則、結合法則は最初に加法と乗法について閉じていることを証明しているため、途中計算などはいらず、イコールで結ぶだけでよいのでしょうか？ 例えばZ[√2]が可換環だと証明するとき、 (a+b√2)+(c+d√2)=(a+c)+(b+d)√2 (a+b√2)×(c+d√2)=(ac+2bd)+(ad+bc)√2 よって、加法と乗法について閉じている。とし、 そのあと加法に関してアーベル群と証明するための交換法則は、加法について閉じていると証明したため当たり前のように (a+b√2)+(c+d√2)=(c+d√2)+(a+b√2) と、イコールで結んで証明して良いのでしょうか？ その後の結合法則に関しても {(a+b√2)×(c+d√2)}×(e+f√2)=(a+b√2)×{(c+d√2)×(e+f√2)} で、終わりで良いのでしょうか？ 基本的な質問で申し訳ないのですがよろしくお願い致します。