数学2、等式の証明の問題

問題は、 「a,b,c,dは実数である。a^2+b^2+c^2+d^2=a+b+c+d=4のとき、a=b=c=d=1であることを証明せよ。」 というものです。 模範解答は、「(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2+(d-1)^2=0より。」 となっていましたが、 私の解答は、「a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)+d(d-1)=0であり、これはa,b,c,dについての対称式であるので、a=b=c=d=0または(a-1)=(b-1)=(c-1)=(d-1)=0であるが、a+b+c+d=4より、a=b=c=d=0は不適であり、(a-1)=(b-1)=(c-1)=(d-1)=0であるので、a=b=c=d=1である。」 というものです。 私の解答が数学的に間違っているかどうかがわからないので教えてください。

対称式だから、a=b=c=d=0 or (a-1)=(b-1)=(c-1)=(d-1)=0 となる理由を教えてもらえませんか？