高校数学積分

こんにちは！解答いただきありがとうございます！ 縦方向への積分であるから、rを縦方向の変数であるtで表現しなければならないということはよくわかりました！ありがとうございます！ 追加でまだ疑問というか、自分の勘違いなのかもしれませんが、 S=(π-4)r^2+36rとして縦にS、横にrをとってグラフに書いたときにこの曲線とr軸、r=1で囲まれた領域の面積が体積になるような気がしてしまうのですが、ただの勘違いってことですよね？ 初歩的な質問ですいません。

S=πR^2としてやってみても答えが2/3πr^3になってしまいますね。 これは厚みのない極薄の紙をいくら重ねても体積にはならないっていうイメージでよろしいのでしょうか？

15:50のコメント そのグラフは断面を作ったときの球の半径の数値rに対して断面積で、薄い板の体積は断面積✕厚さなので、厚さはdrではないですね。区分求積法をよく調べてみては。積分の最後に付くdxは積分する方向がxならdxです。この問題ではrは水平方向に伸び縮みする量で厚み方向ではないのでだめなんです。 15:58のコメント これはどんな図を考えているか分かりませんが、関数s=πr∧2という放物線を積分していると考えたら体積にはなりませんが（単にグラフの下の面積を求めただけ）、中心が原点にある半径rの球を縦に切った時の断面の円の面積だと考えれば、0〜rまでの積分の結果の2/3πr∧3はちゃんと半球の体積になっています。

ごめんなさい、上の12;58のコメント、全く勘違いでした。忘れてください。積分の結果も違いますね。πr∧3ですね。この積分では直線s=rをr軸を中心に回転さたときにできる円錐の体積です。

あ、15:58でした。