準同型定理の証明における写像のwell-definednessの確認

準同型定理の証明における写像のwell-defined性の確認がいまいちよくわかりません “$f:G\to H$を準同型とする $\psi : g\mathrm{Ker}(f)\mapsto f(g)(g\in G)$ と定義する $n\in \mathrm{Ker}(f)ならばf(gn)=f(g)f(n)=f(g)1=f(g)$” というところはわかりますが、この後に“したがって$\psi$はwell-definedな写像である”と書かれているのですが本当にこれがwell-definednessの証明になっているんでしょうか？ $x\mathrm{Ker}(f)=y\mathrm{Ker}(f)ならばf(x)=f(y)$であることが言えれば$\psi$がwell-definedであることを納得できるのですが ※以下のことを友人に教えてもらって解決しました $x\mathrm{Ker}(f)=y\mathrm{Ker}(f)$より$\mathrm{Ker}(f)$に属する$s,t$があって$xs=yt$が成り立っている　両辺に$f$を作用させて　$f(xs)=f(yt)$ よって$f(x)=f(y)$ よって示せた 詳しい方がいましたら上のwell-definedの確認についても説明お願いします