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準同型定理における写像の単射性の確認
回答
理解できました 感謝の印に親指を立てます(そういう文化なので)
すみませんやっぱり(1)でなぜf(x)=eとなるのかわかりません
f が準同型写像であること、 N = Ker f の元は f で飛ばすと e になることに注意してみてください。
a,b∈Gとするf(ab^{-1}s)=f(ab^{-1})f(s)=f(ab^{-1})仮にf(ab^{-1})=e─(☆)とするZを通常の加法を演算に持つ群とするψ:Z∋ n↦2^n ∈〈2〉とする このときψは準同型である ⭐︎よりψ(2+(-1))=x^02^1=2^0これだと矛盾してませんか？
今はφの単射性の確認をしています。 φで飛ばした先で等しいなら元も等しいことを示したいわけですから、 φ(aN) = φ(bN) ⇔ f(a) = f(b) という"仮定"をしています。 これがいつも成り立つといっているわけではありません。 この下で、f(ab^{-1}) = f(a)f(b)^{-1} = f(b)f(b)^{-1} = e ですね。
a,bがφ(aN) = φ(bN) ⇔ f(a) = f(b)を満たすように選ばれた元ということですか？
というよりは、aN, bN ∈ G/Nが φ(aN) = φ(bN)を満たすことを仮定しています。φ(aN) = f(a), φ(bN) = f(b) はφの定義です。
なんのためにφ(aN) = φ(bN) ⇔ f(a) = f(b) という"仮定"をしているのですか？ これは写像φの定義より導かれませんか？導かれないのならこれが成り立たない場合においても証明をすべきではないのですか？
整理しましょう。今示したいことはφの単射性です。すなわち、 φ(aN) = φ(bN) ならば aN = bN となることを示したいのです。 だからφ(aN) = φ(bN)を仮定しています。 φ(aN) = φ(bN) ⇔ f(a) = f(b) はφの定義からいえます。 したがって、f(ab^{-1}) = f(a)f(b)^{-1} = f(b)f(b)^{-1} = e となります。 あとは省略しますが、結論としてaN = bN が示せるので、単射性が示せた、ということです。
なるほど