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積分で定義された数列・関数　その1

    保住 帆人 (id: 1250) （2022年9月24日21:34）
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    切り口がわからない。 そして、ヒントの意味もわからない。 よろしくお願いします。

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    回答

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2022年9月25日9:45）
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    おはようございます！ （１）をやる時に、元の問題のｔの関数とか定積分とかの関連を考えちゃうとごちゃごちゃになります。この（１）はこれ単独の問題です。 あるθとｔに関して、cosθ＝ｔsinθ　が成り立っているとき、ここからcosやsinをｔで表せ！という問題です。 両辺をcosで割って変形すればtanθ＝1/t。あとは三角関数の相互関係を使って、cosをtanで表せば答え。次にsinをcosで表せば答になりますね。 （２）は、絶対値を外すために中味が正の場合と負の場合に分けるのですが、その境目をθとして書いたのでしょう。０からθまでは、中が正または０だからそのまま積分。残りの範囲θからπ/2までは中味が負だから符号を変えた式を積分せよ！ということなんでしょう。それがヒントの式です。その境目θでは（１）の等式が成り立っているというわけです。 ヒントの意味が了解なら、ヒントにある積分を丁寧に実行していくと（大変だぁ！） f(t)=2sinθ＋ 2tcosθ-t-1 までいきます。ここで、このθとｔは(1)の条件を満たしていますから、sin,cosに(1)のｔの式を代入してていねいに計算すると f(t)=2√(t^2+1)-t-1　…(*)（あぁ。めんどう！） となりますので、ｔ＞０の範囲での最小値を求めるため微分して（やりたくない！）、０になるｔを求めるとｔ＝1/√3が得られ、増減表を書けばそこで最小値を取ることがわかるのだ！！！ 答はf(1/√3)です。(*)の式からていねいに計算して求めてください。 なにせ、計算量が多くて、計算間違いを何回もしながらやっとたどり着きました。 チラッと名古屋大学と書いてあるのが見えるけれど、そのレベルの解答のない問題集をやるっていうのは、あまりいいことではないです。なんという問題集ですか？教えてください。解答集をさがしてみますから。 これでどうでしょうか？ （う～疲れた…）
    明鏡 Nebulous (id: 1286) （2022年9月25日13:39）
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    方針は上の解答者様の通り，(2)で絶対値を外すために(1)が誘導になっています． (1) 0<θ<π/2 のもとではcosθは0とはならないので，cosθ＝ｔsinθ の両辺を cosθ で割ると tanθ=1/t 1+tan²θ = 1/cos²θ から cos^2θ = 1/(1+tan²θ) = t²/(1+t²) このとき，cos²θ+sin²θ = 1 から sinθ = 1-cos²θ = 1/(1+t²) いずれも0<θ<π/2 のもとでは正であるから，t>0 も踏まえて，cosθ = t/√(1+t²), sinθ = t/√(1+t²) （答） (2) (1)より， cosθ = t/√(1+t²), sinθ = t/√(1+t²) ･･･① を満たすような角度をθとすると， θを境に cosθ -ｔsinθ の符号が変わります． cosx - t sinx の x に，試しにx=0，π/2 を代入してみると， cos0 - t sin0 = １(正) ，cos(π/2) - t sin(π/2) = -t (負) より，xを 0 から π/2 まで動かすと，最初は符号は正ですが， ①をみたすようなθでちょうど0となり，その後は π/2 まで負となります． よって，このようなθで積分区間を分け，絶対値を外します． ∫(0)→(π/2) |cosx -ｔsinx| dx = ∫(0)→(θ) (cosx -ｔsinx) dx + ∫(θ)→(π/2) ー(cosx -ｔsinx) dx = [sinx +ｔcosx](0)→(θ) + [-sinx -ｔcosx](θ)→(π/2) = 2sinθ + 2t cosθ - t - 1 ここで，①を代入して， = 2/√(1+t²) + 2t²/√(1+t²) - t - 1 = 2√(1+t²) - t - 1 字数足らず．下に続く

    明鏡 Nebulous (id: 1286) （2022年9月25日13:43）
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    f(t)が求まったので，あとはt>0の範囲で増減表を描いて，最小値を調べます． f'(t) = 2t/√(1+t²) - 1 = { 2t - √(1+t²) } /√(1+t²) 分母は常に正であり，分子が0となるのは， 2t = √(1+t²) となる場合で，2乗して 4t² = 1+t² ⇔ 3t² = 1 t>0においては，t =1/√3 .このとき f'(t)=0 となる． 試しにf'(0) や f'(1)を計算すると， f'(0) = -1 (負)　f'(1)=√2 -1 （正） より，f'(t)の符号は，t=1/√3 を境に 負から正． よってf(t) は t = 1/√3 で最小値をとり，その値は√3 -1 すいません．サイトの使い方が分からず，解答の前半は上の解答者様のコメントに送信してしまいました
    くさぼうぼう : (id: 1236) （2022年9月25日15:59）
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    Nebulous 明鏡さん、すみません、わたしのPCは朝からこのページを表示したままだったので、Nebulous 明鏡さんの解答があるのき気が付かず書いていました！解答し終わってページが更新されたら、Nebulous 明鏡さんの解答がすでにあるのに気が付きました。内容的には同じなので安心しました。私一人で対応しているような格好ですが、１日に２，３題の入試問題なんかがくると手に負えません。どうぞ回答者としてふるってご参加ください。回答を求めていらっしゃる学習者が質問をしてきますので。よろしくお願いします！！

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