存在記号と「または」が同値である理由

ご回答ありがとうございます。 たしかにWは集合だから｛｝と、で繋げなければいけませんね。 勘違いしておりました。ありがとうございます。 くさぼうぼう　さんの回答から引用させていただきますと、 私が質問したかったのは ｛P(X1）、P(X2）、…、P(Xn）｝ と ｛ｙ｜∃ｘ（ｙ＝P(x)｝ が一致する理由です。 二度手間をかけてしまい申し訳ありません。 ご返答お待ちしております。

う～む、ごめんなさい、あなたの疑問がうまく理解できないのかも。 私としてはｙ∊Ｗ⇔∃ｘ（ｙ＝P(x)）という表現(式）がすべてを物語っているように思えるのです。 W＝｛P(X1）、P(X2）、…、P(Xn）｝ という式は「ｗはＸのＰによる像（値域）です」と言っているのですから、「ｙが値域の要素である、とは、どんなｘなのかはわからないけど、とにかくなんらかのｘが写像Ｐによってｙに写って来たんだ」と考えますね。つまり「写像Ｐによってｙに移ってくるｘが存在しているわけだ」と、たいして疑問も感じずに思ってしまうので……困ったなぁ。ごめんなさい、うまく言えてないかも。

二度目のご返答大変ありがとうございます。 私の疑問というか不思議に思ったことは、 ｛P(X1）、P(X2）、…、P(Xn）｝-① は羅列した表現で隙間なく値域が調べられている感じがするのに、 ｛ｙ｜∃ｘ（ｙ＝P(x)｝-② という、簡素な(私の主観ですが)表現と全く同じということです。 ①で羅列された要素全ては②を満たすことはわかるのですが、 ②を満たす要素が全て①を満たすことは私の脳では考えつかないのです。 また調べてみたところヨの条件は一般的にvを繋ぎ合わせた形で表せられるとありましたが、これには関係あるのでしょうか？ 何度も抽象的な質問で申し訳ありません。理解している方の感覚を少しでも共有してみたくて、、、

｛ｙ｜∃ｘ（ｙ＝P(x)｝-②は、もっと正確に書けば、「全体集合をＧとする。 ｛ｙ∊Ｇ｜∃ｘ（ｙ＝P(x)｝とか、｛ｙ｜(ｙ∊Ｇ)⋀(∃ｘ（ｙ＝P(x))｝ですので、全体集合Gの中のすべての要素ｇについてg=P(Xi)を満たす番号ｉがあるかどうか調べるのと一緒ですから大丈夫でしょう。「 ②を満たす要素が全て①を満たす」ではなく（言葉の遊びかもしれないけど）「②で表される集合と①という集合は同じ（要素がまったく同じ）」と考えてはどうでしょうか？　　力不足でごめんなさい。

度々のご返答ありがとうございます。 もしかしたら私はヨを含む式を正しく理解できていないのかもしれません。 「いろんなgを取ってきて、それに対応するiがあるかどうか一つ一つ調べる」という、"操作"というか"アルゴリズム"のようなものを ｛ｙ｜(ｙ∊Ｇ)⋀(∃ｘ（ｙ＝P(x))｝-① に感じられなくて、、、 ヨを含むから「存在するかどうか」が重要なことはわかるのですが、「その判定をいろんなyで繰り返す」ということが①の意味に含まれる意味がよくわからないです。 そもそも、「繰り返す」と言う意味はヨに関係ないのでしょうか。 何度もすみません。力不足なんて言わないでください。こうして対話しているだけで、とても楽しいし勉強になります。